2018届二轮复习第23讲三角函数的图像和性质的运用学案（全国通用）

2018届二轮复习第23讲三角函数的图像和性质的运用学案（全国通用）

‎【知识要点】‎ 一、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内任意一个值时，都有 ‎，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期.‎ 二、的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，．‎ 当时，‎ ‎；当 时，．‎ 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数；在 上是减函数．‎ 在上是增函数；在 上是减函数．‎ 在 上是增函数．‎ 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.‎ 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.‎ 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.‎ 三、复合函数的单调性 设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减” 确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：‎ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 四、使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.‎ 五、解答三角函数的问题时，不要漏了“”.‎ ‎【方法讲评】‎ 运用一 求函数的单调区间 解题步骤 一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.‎ ‎【例1】已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原 的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.‎ ‎（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原 的4倍，纵坐标不变，得到的图象．‎ 所以．‎ ‎【点评】（1）一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.（2）如果知识比较熟练，也可以不必写得这么复杂，直接写出不等式（）也可以. 学 ‎ ‎【反馈检测1】已知函数.‎ ‎（1）求的周期和单调递增区间；‎ ‎（2）说明的图象可由的图象经过怎样变化得到.‎ 运用二 求函数的奇偶性 解题步骤 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎【例2】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎【点评】三角函数的恒等变换在解决三角函数的问题时尤为重要，如果化简出现问题，后面的解答就会出错.‎ ‎【反馈检测2】设函数的最小正周期为，且为偶函数，求函数的解析式.‎ 运用三 求函数的周期 解题步骤 一般先利用三角恒等变形把函数化成的形式，再利用周期公式求函数的周期.‎ ‎【例3 】 已知函数.‎ ‎（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值.‎ ‎【解析】由题设有．‎ ‎（I）函数的最小正周期是 ‎（II）由得即 ‎ ‎ ‎【点评】（1）要使用周期公式，必须先通过三角恒等变形将函数的解析式化为或的形式，再代周期公式.（2）正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是，注意一定要注意加绝对值.（3）函数的最小正周期是，不是.三角函数的周期公式中代表的是的系数，不是什么地方都是.函数中的系数是.‎ ‎【反馈检测3】已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值； : （Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ 运用四 求函数的对称性（对称轴和对称中心）‎ 解题步骤 一般类比三角函数求复合函数的对称轴、对称中心等.‎ ‎【例4】已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由 函数图象的对称轴方程为 ‎ ‎【点评】（1）求函数的对称轴一般就是解方程，求函数的对称轴一般就是解方程.学 ‎ ‎【反馈检测4】函数图象的对称中心是 .‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第23讲:三角函数的图像和性质(周期性、单调性、奇偶性和对称性)的运用参考答案 ‎【反馈检测1答案】(1) 单调递增区间为；（2）将的图象纵坐标不变, 横坐标综短为原 倍, 将所得图象向左平稳个单位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标为原 的倍得的图象. ‎ ‎【反馈检测2答案】‎ ‎【反馈检测2详细解析】‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测3答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）‎ ‎．‎ 因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得．‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测4详细解析】因，‎ ‎ 所以函数的对称中心为 .‎