高考数学一轮复习练案67第九章计数原理概率随机变量及其分布第六讲几何概型含解析
[练案67]第六讲 几何概型
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是[0,3]上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 依题意可知，估计值为1＋1.5＝2.5，残差为y1－2.5，依题意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率为＝，故选C.
2．(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝＝.故选D.
3．(2020·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 设MP＝x cm,0
60，得6＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2，由几何概型的概率公式可得所求概率为＝.
14．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别是这个圆柱上底面和下底面的圆心，在该圆柱内随机取一点P，则点P到O1，O2的距离都大于1的概率是 .
[解析] 由题意，所求概率为1－＝1－＝.
15．(2019·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是 2－ .
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[解析] ∵阴影部分面积为
12×(πR2－×)＝(2π－3)R2，
∴飞镖落在黑色部分的概率为＝2－，
故答案为2－.
B组能力提升
1. (2020·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为a，∴所求概率P＝＝.故选D.
2．(2019·福建省厦门市质检)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分，在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为( B )
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A． B．
C． D．
[解析] 由图可知各正方形的边长为：1,1,2,3,5,8，
矩形ABCD的面积为：S1＝8×13＝104，
阴影部分面积为：
S2＝(π＋π＋4π＋9π＋25π＋64π)＝，
所求概率为：P＝＝.
3. (2019·福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为( A )
A． B．
C. D．
[解析] 分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，l＝2(R＋R)，
∴l＝(2＋)R，
∴所求概率P＝＝.故选A.
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4．(2019·石家庄模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析]
以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，
则＋＝，因为＋＋2＝0，
所以＋＝－2，得＝－2，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴S△PBC＝S△ABC，
∴所求概率P＝＝.故选D.
5．(2019·湖北武汉武昌区调研)已知a，b是区间[0,4]上的任意实数，则函数f(x)＝ax2－bx＋1在[2，＋∞)上单调递增的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知
函数f(x)在[2，＋∞)上递增⇔
即
由图可知所求概率
P＝＝.故选D.
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