【数学】2018届一轮复习人教A版 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学案
专题20两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．
tan(α±β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α．
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
tan 2α＝．
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β)．
(2)cos2α＝，sin2α＝．
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
高频考点一、三角函数式的化简
【例1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
A.sin(α＋2β) B.sin α
C.cos(α＋2β) D.cos α
(2)化简：(0<α<π)＝________.
【方法规律】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
【变式探究】 (1)＋2的化简结果是________.
(2)化简：＝________.
解析 (1)原式＝＋2
＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，
因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 4
0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
答案 (1) (2)－ (3)－
【方法规律】(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D.2－1
(2)已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α的值为________.
(3)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β＝________.
解析 (1)原式＝4sin 40°－
＝
＝
＝
＝
＝＝，故选C.
(2)由sin＋sin α＝－，
得sin α＋cos α＝－，sin＝－.
又－<α<0，所以－<α＋<，
于是cos＝.
所以cos α＝cos＝.
(3)∵cos α＝，0<α<，
∴sin α＝，tan α＝4，
∴tan 2α＝＝＝－.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴sin(α－β)＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
∴β＝.
答案 (1)C (2) (3)－
高频考点三 三角变换的简单应用
【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.
(1)求角A；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
解 (1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)
＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝.
又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.
(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋
sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.
因为B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝时，函数y取得最大值，此时B＝，ymax＝2.
【方法规律】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.
【变式探究】 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值.
解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，
∴f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.
1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 ，
且，故选D.
3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由，得或，所以，故选A．
【2015高考重庆，理9】若，则（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】
由已知，
＝，选C.
（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ
)的最大值为________．
【答案】1
【解析】 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.
（2014·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
【解析】 (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝
－.因为08 B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
【答案】A
【解析】 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，
所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，
所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋，
所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.
由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C
，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2 ，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
（2014·辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
【解析】(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
（2014·全国卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.
【解析】由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1，
所以B＝135°.
（2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
【答案】C
（2014·四川卷）如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
图13
【答案】60
【解析】 过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46 m，∴AB＝＝＝50(m)，
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50 m，
由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，
故河流的宽度BC约为60 m.
（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sinα<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
（2014·天津卷）已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
1.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
答案 D
2.已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝( )
A.－ B. C.－ D.
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故选C.
答案 C
3.设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有( )
A.a＜c＜b B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，
∴c＜a＜b.
答案 D
4.已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝( )
A.－ B.－ C.－ D.－
解析 由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝.
∴tan 2α＝－，∴tan＝＝＝－.
答案 D
5.cos·cos·cos＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·
cos 40°·cos 80°＝－
＝－
＝－＝－＝－＝－.
答案 A
6.设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A.[－，1] B.[－1，]
C.[－1，1] D.[1，]
解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，
∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由⇒≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.
答案 C
7.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
8.若cos＝，则sin的值是________.
解析 sin＝sin＝
cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案 －
9.已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
解析 ∵α∈，cos＝，
∴sin＝－，
∵sin＝－，∴sin＝，
又∵β∈，∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.
答案 －
10.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.
解析 sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
答案 －
11.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1).
(1)若a⊥b，求的值；
(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值.
解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，
所以sin θ＝2cos θ，
所以＝＝.
(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，
|a－b|＝＝
＝2，
即1－2cos θ＋sin θ＝0.
又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，
所以sin θ＝，cos θ＝.
所以sin＝(sin θ＋cos θ)＝＝.
12.设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值.
解 法一 由cos α＝－，π<α<，得sin α＝－，tan α＝2，又tan β＝，
于是tan(α－β)＝＝＝1.
又由π<α<，
0<β<可得－<－β<0，<α－β<，
因此，α－β＝.
法二 由cos α＝－，π<α<得sin α＝－.
由tan β＝，0<β<得sin β＝，cosβ＝.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
－＝－.
又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
13. 如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，
设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式.
(2)求S的最大值及相应的θ角.
解 (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.
由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，MN
＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，S＝MN·PD＝·sin θ＝sin θcos θ－·sin2θ，θ∈.
