【数学】山西省太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试（6月）试卷（理）

【数学】山西省太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试（6月）试卷（理）

山西省太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试（6月） 数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）‎ ‎1．设集合A＝{x|x2－x－2＜0}，集合B＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝(　　)‎ A．[－1,1]B．(－1,1]C．(－1,2) D．[1,2)‎ ‎2.已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)‎ A.1 B.－1 C.i D.－i ‎3．已知a＝()，b＝2，c＝9，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎4.若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为（ ）‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ ‎6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为(　　)‎ A. B. C.1－ D.1－ ‎7.向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－‎2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D． ‎8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2019的值为(　　)‎ A．2020 B．4032 C．5041 D．3019‎ ‎10.已知抛物线C的方程为x‎2‎‎=4y,F为其焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点，则|AP||BQ|的取值范围为（ ）‎ A.‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎ B.‎ [2,+∞)‎ C.‎ (2,+∞)‎ D.‎‎ [0,2)‎ ‎11.已知函数fx=‎sinx, &x≤‎π‎4‎cosx, &x>‎π‎4‎ ,给出下列四个结论：‎ ‎（1）f(x)不是周期函数 ‎ ‎(2)f(x)是奇函数 ‎（3）f(x)的图象关于直线x=‎π‎4‎对称 ‎ ‎（4）f(x)在x=‎‎5π‎2‎处取得最大值 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（4）‎ ‎12.已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=‎2‎,E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A.‎30π‎11‎ B.‎60π‎11‎ C.‎9π‎16‎ D.‎‎25π‎16‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、 填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝______.‎ ‎14.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和．若a‎2a4＝1，S3＝7，则S5=______.‎ ‎15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.‎ ‎16. 已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 正（主）视图 侧（左）视图 俯 视 图 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 正（主）视图 侧（左）视图 俯 视 图 ‎2‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎18.在中, ,其中角的对边分别为；‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求向量在方向上的投影.‎ ‎19.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．‎ ‎（1）求物理原始成绩在区间的人数；‎ ‎（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎（附：若随机变量，则，，）‎ ‎20.已知椭圆C:（）的离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆C于另一点E，求直线的斜率取值范围，并证明直线与x轴相交于定点.‎ ‎21.已知函数，其中k∈R.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当k∈[1，2]时，求函数在[0，k]上的最大值的表达式，并求的最大值.‎ 选考题：满分10分，请考生在22、23题中任选 一题作答，如果多选，则所做第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，的方程为，的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求和的极坐标方程；‎ ‎（2）直线与交于点，与交于点（异于），求的最大值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，证明：‎ 参考答案 ‎1-12 BBACD CBDBB AB ‎13-16 -3 0.046 08 ‎‎7‎‎2‎ ‎17. 略 ‎18.解：(1)由已知得：,即 ‎ 又,所以 ‎ ‎(3)由正弦定理,有 ,所以,‎ 由题知,则 ,故. ‎ 根据余弦定理,有 , ‎ 解得 或 (负值舍去), ‎ 向量在方向上的投影为.‎ ‎19.解：（Ⅰ）因为物理原始成绩，‎ 所以 ‎．‎ 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．‎ 所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以数学期望．‎ ‎20.解：（1）设点O关于直线的对称点为，则 ‎，‎ 解得，‎ 依题意，得，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴椭圆C的方程是； ‎ ‎（2）设直线的方程为，且，，‎ 则，‎ 由，消去y得，‎ ‎，‎ 解得，且，‎ ‎∴直线的斜率取值范围是；‎ 由韦达定理得：，‎ 直线的方程为，‎ 令，解得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴直线与x轴交于定点.‎ ‎21.解：（1）， ‎ 当时，令得，令得，故的单调递增区间为的单调递减区间为 当时，令得，或，‎ 当时，当时或；当时；的单调递增区间为；减区间为.‎ 当时，当时；当时；的单调递增区间为； ‎ ‎（2）当时，由（1）知，的单调递增区间为为 ‎；减区间为.‎ 令，，‎ 故在上单调递减，故， ‎ 所以当[0，k]时函数单调减区间为，单调增区间为；‎ 故函数 由于 对于，，即，当时等号成立， ‎ 故.‎ 当时由（1）知；的单调递增区间为；所以当[0，k]时函数单调递增，故.‎ 综上所述：函数在[0，k]上的最大值为，‎ ‎，由于，‎ ‎∴对恒成立 ‎∴在上为增函数.‎ ‎∴.‎ ‎22. 解：（1）由得，即，‎ 所以的极坐标方程为.‎ 由得，即，‎ 所以，即，‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎（2）由得，‎ 由得，‎ 所以，‎ 所以当或时，的最大值为.‎ ‎23.解：（1）由得，‎ 当时，得，所以；‎ 当时，得，所以；‎ 当时，得，所以；‎ 综上，此不等式的解集为：；‎ ‎（2）由 ，‎ 由绝对值不等式得，‎ 又因为同号，所以，‎ 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，‎ 所以.‎