2018届二轮复习考前教材重温学案(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习考前教材重温学案(全国通用)

专题一 考前教材重温 ‎1. ‎1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.‎ 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P(x,y)是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0),三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.‎ ‎[应用1] 已知角α的终边经过点P(3,-4),则sin α+cos α的值为________.‎ ‎[答案] - ‎2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式.‎ ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:tan α=.‎ ‎(3)诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限.‎ 角 ‎-α π-α π+α ‎2π-α -α 正弦 ‎-sin α sin α ‎-sin α ‎-sin α cos α 余弦 cos α ‎-cos α ‎-cos α cos α sin α ‎[应用2] cos+tan+sin 21π的值为________.‎ ‎[答案] - ‎3.正弦、余弦和正切函数的常用性质.‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎{y|-1≤y≤1}‎ ‎{y|-1≤y≤1}‎ R 续表  ‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调性 在,k∈Z上递增;在,k∈Z上递减 在[(2k-1)π,2kπ],k∈Z上递增;在[2kπ,(2k+1)π],k∈Z上递减 在,k∈Z上递增 最值 x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 对称性 对称中心:(kπ,0),k∈Z 对称中心:,k∈Z 对称中心:,k∈Z 对称轴:x=kπ+,k∈‎ 对称轴:‎ x=kπ,k∈Z 无 Z 周期性 ‎2π ‎2π π ‎[应用3] 函数y=sin的递减区间是________.‎ ‎[答案] (k∈Z)‎ ‎4.三角函数化简与求值的常用技巧.‎ 解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值.常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧.如:‎ α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),‎ α=[(α+β)+(α-β)].‎ α+=(α+β)-,α=-.‎ ‎[应用4] 已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos=________.‎ ‎[答案] - ‎5.解三角形.‎ ‎(1)正弦定理:===2R(R为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:(i)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(ⅱ)sin A=,sin B=,sin C=;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知三角形两边及一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在△ABC中,A>B⇔sin A>sin B.‎ ‎(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A=等,常选用余弦定理判定三角形的形状.‎ ‎[应用5] 在△ABC中,a=,b=,A=60°,则B=________.‎ ‎[答案] 45°‎ ‎6.求三角函数最值的常见类型、方法.‎ ‎(1)y=asin x+b(或acos x+b)型,利用三角函数的值域,须注意对字母a的讨论.‎ ‎(2)y=asin x+bsin x型,借助辅助角公式化成y=sin(x+φ)的形式,再利用三角函数有界性解决.‎ ‎(3)y=asin2x+bsin x+c型,配方后转化为二次函数求最值,应注意|sin x|≤1的约束.‎ ‎(4)y=型,反解出sin x,化归为|sin x|≤1解决.‎ ‎(5)y=型,化归为Asin x+Bcos x=C型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解.‎ ‎(6)y=a(sin x+cos x)+bsin x·cos x+c型,常令t=sin x+cos x,换元后求解(|t|≤).‎ ‎[应用6] 函数y=sin2x+sin x-1的值域为________.‎ ‎[答案]  ‎7.向量的平行与平面向量的数量积.‎ ‎(1)向量平行(共线)的充要条件:a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔(a·b)2=(|a||b|)2⇔x1y2-y1x2=0.‎ ‎(2)a·b=|a||b|cos θ,‎ 变形:|a|2=a2=a·a,cos θ=,‎ a在b上的投影(正射影的数量)=.‎ 注意:〈a,b〉为锐角⇔a·b>0且a,b不同向;‎ ‎〈a,b〉为钝角⇔a·b<0且a,b不反向.‎ ‎[应用7] 已知圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若+=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为________.‎ ‎[答案] 3‎ ‎8.向量中常用的结论.‎ ‎(1)=λ+μ(λ,μ为实数),若λ+μ=1,则三点A,B,C共线;‎ ‎(2)在△ABC中,若D是BC边的中点,则=(+);‎ ‎(3)已知O,N,P在△ABC所在平面内.若||=||=||,则O为△ABC的外心;若++=0,则N为△ABC的重心;若·=·=·,则P为△ABC的垂心.‎ ‎[应用8] 在△ABC中,D是AB的中点,E是AC的中点,CD与BE交于点F,设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)为(  )‎ A.        B. C. D. ‎[答案] C ‎2. ‎1.等差数列及其性质.‎ ‎(1)等差数列的判定:an+1-an=d(d为常数)或an+1-an=an-an-1(n≥2).‎ ‎(2)等差数列的性质 ‎①当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+d=n2+n是关于n的二次函数且常数项为0.‎ ‎②若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列.‎ ‎③当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.‎ ‎④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列.‎ ‎[应用1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30‎ 为(  )‎ A.15    B.20 ‎ C.25    D.30‎ ‎[答案] A ‎2.等比数列及其性质.‎ ‎(1)等比数列的判定:=q(q为常数,q≠0)或=(n≥2).‎ ‎(2)等比数列的性质:‎ 当m+n=p+q时,则有am·an=ap·aq,特别地,当m+n=2p时,则有am·an=a.‎ ‎[应用2] (1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a‎4a7=-512,公比q是整数,则a10=________.‎ ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5·a6=9,则log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10=________.‎ ‎[答案] (1)512 (2)10‎ ‎3.求数列通项的常见类型及方法.‎ ‎(1)已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳、猜想法.‎ ‎(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义,可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式.‎ ‎(3)若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n),可采用累加法.‎ ‎(4)数列的递推公式为an+1=an·f(n),则采用累乘法.‎ ‎(5)已知Sn与an的关系,利用关系式an=求an.‎ ‎(6)构造转化法:转化为等差或等比数列求通项公式.‎ ‎[应用3] 已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2,则数列{an}的通项公式为an=________.‎ ‎[答案] n·2n ‎4.数列求和的方法.‎ ‎(1)公式法:等差数列、等比数列求和公式;‎ ‎(2)分组求和法;‎ ‎(3)倒序相加法;‎ ‎(4)错位相减法;‎ ‎(5)裂项法;‎ 如:=-;=.‎ ‎(6)并项法;‎ 数列求和时要明确项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法.‎ ‎[应用4] 数列{an}满足an+an+1=(n∈N,n≥1),若a2=1,Sn是{an}的前n项和,则S21的值为________.‎ ‎[答案]  ‎5.如何解含参数的一元二次不等式.‎ 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面 考虑:①二次项系数,它决定二次函数的开口方向;②判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况;③在有根的条件下,要比较两根的大小,也是分大于、等于、小于三种情况.在解一元二次不等式时,一定要画出二次函数的图象,注意数形结合.‎ ‎[应用5] 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________‎ ‎[解] 原不等式化为 (x-1)<0.‎ ‎∴当0<a<1时,不等式的解集为 ;‎ 当a>1时,不等式的解集为 ;‎ 当a=1时,不等式的解集为∅.‎ ‎6.处理二次不等式恒成立的常用方法.‎ ‎(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法,当x的取值为全体实数时,一般应用此法.‎ ‎(2)从函数的最值入手考虑,如大于零恒成立可转化最小值大于零.‎ ‎(3)能分离变量的,尽量把参变量和变量分离出 .‎ ‎(4)数形结合,结合图形进行分析,从整体上把握图形.‎ ‎[应用6] 如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是 (  )‎ A.-1≤k≤0 B.-1≤k<0‎ C.-1<k≤0 D.-10),则f(x)的周期T=a;(2)f(x+a)=(f(x)≠0)或f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期T=‎2a.‎ ‎[应用7] 设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=则f=________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎8.函数图象的几种常见变换.‎ ‎(1)平移变换:左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言);上下平移——“上加下减”.‎ ‎(2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|).‎ ‎(3)对称变换:①证明函数图象的对称性,即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上;‎ ‎②函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;‎ ‎③函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0(y轴)对称;函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(x轴)对称.‎ ‎[应用8] 函数y=的对称中心是________.‎ ‎[答案] (1,3)‎ ‎9.如何求方程根的个数或范围.‎ 求f(x)=g(x)根的个数时,可在同一坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,看它们交点的个数;求方程根(函数零点)的范围,可利用图象观察或零点存在性定理.‎ ‎[应用9] 函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是 (  )‎ A.(0,1)   B.(1,2) ‎ C.(2,e)   D.(3,4)‎ ‎[答案] B ‎10.二次函数问题.‎ ‎(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向,二看对称轴与所给区间的相对位置关系.‎ ‎(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,要考虑到二次项系数可能为零的情形.‎ ‎[应用10] 若关于x的方程ax2-x+1=0至少有一个正根,则a的取值范围为________.‎ ‎[答案]  ‎11.利用导数研究函数单调性的步骤.‎ ‎(1)确定函数y=f(x)的定义域.‎ ‎(2)求导数y′=f′(x).‎ ‎(3)解方程f′(x)=0在定义域内的所有实根.‎ ‎(4)将函数y=f(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起 ,分成若干个小区间.‎ ‎(5)确定f′(x)在各个小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.‎ 特别提醒:(1)多个单调区间不能用“∪”连接;‎ ‎(2)f(x)为减函数时f′(x)≤0恒成立,但要验证f′(x)是否恒等于0.‎ ‎[应用11] 函数f(x)=ax3-2x2+x-1在R上是增函数,则a的取值范围是________.‎ ‎[答案]  ‎12.导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.‎ ‎[应用12] 函数f(x)=x4-x3的极值点是________.‎ ‎[答案] x=1‎ ‎13.利用导数解决不等式问题的思想.‎ ‎(1)证明不等式f(x)”的否定是“≤”,“都”的否定是“不都”.‎ ‎[应用7] 命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ ‎[答案] D ‎8.求参数范围时,要根据条件进行等价转化,注意范围的临界值能否取到,也可与补集思想联合使用.‎ ‎[应用8] 已知命题p:∃x0∈R,ax+x0+≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[答案]  ‎8. ‎1.归纳推理和类比推理.‎ 共同点:两种推理的结论都有待于证明.‎ 不同点:归纳推理是由特殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.‎ ‎[应用1] (1)若数列{an}是等差数列,bn=,则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,{dn}也是等比数列,则{dn}的表达式应为(  )‎ A.dn= B.dn= C.dn= D.dn= ‎(2)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)=________.‎ ‎[答案] (1)D (2) ‎2.证明方法:综合法由因导果,分析法执果索因.反证法是常用的间接证明方法,利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义,正确进行反设.‎ ‎[应用2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设________________________________________________________.‎ ‎[答案] 三角形三个内角都大于60°‎ ‎3.复数的概念.‎ 对于复数a+bi(a,b∈R),a叫做实部,b叫做虚部;当且仅当b ‎=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,复数a+bi叫做纯虚数.‎ ‎[应用3] 若复数z=lg(m2-m-2)+i·lg(m2+‎3m+3)为实数,则实数m的值为________.‎ ‎[答案] -2‎ ‎4.复数的运算法则与实数运算法则相同,主要是除法法则的运用,另外复数中的几个常用结论应记熟:‎ ‎(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;=-i;(3)i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0;‎ ‎(4)设ω=-±i,则ω0=1;ω2=;ω3=1;1+ω+ω2=0.‎ ‎[应用4] 已知复数z=,是z的共轭复数,则||=________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎5.(1)循环结构中几个常用变量:‎ ‎①计数变量:用 记录某个事件发生的次数,如i=i+1.‎ ‎②累加变量:用 计算数据之和,如s=s+i.‎ ‎③累乘变量:用 计算数据之积,如p=p×i.‎ ‎(2)处理循环结构的框图问题,关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数.‎ ‎[应用5] (2016·衡水中 七调改编)执行如图6的程序框图,输出S的值为________.‎ 图6‎ ‎[答案] 2‎
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