2019届二轮复习第九章第6节 双曲线学案（全国通用）
第 6 节 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范
围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|
且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫
焦距.其数学表达式：集合 P＝{M |MF1|－|MF2 ＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为
常数且 a>0，c>0：
(1)若 a
c 时，则集合 P 为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
－y2
b2
＝1
(a>0，b>0)
y2
a2
－x2
b2
＝1
(a>0，b>0)
图 形
性
质
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±b
ax y＝±a
bx
离心率 e＝c
a
，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫
做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，
b 叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
[常用结论与微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2
a .
2.离心率 e＝c
a
＝ a2＋b2
a
＝ 1＋b2
a2.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲
线.( )
(2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程x2
m
－y2
n
＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )
(4)双曲线 x2
m2
－y2
n2
＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 x2
m2
－y2
n2
＝0，即 x
m
±y
n
＝
0.( )
解析 (1)因为 MF1|－|MF2 ＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当 m＞0，n＞0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m＜0，n＜0 时则表示焦点
在 y 轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程 x2
m2＋n
－ y2
3m2－n
＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间
的距离为 4，则 n 的取值范围是( )
A.(－1，3) B.(－1， 3) C.(0，3) D.(0， 3)
解析 ∵方程 x2
m2＋n
－ y2
3m2－n
＝1 表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得
－m20，b>0)的一条渐近线
方程为 y＝ 5
2 x，且与椭圆x2
12
＋y2
3
＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )
A.x2
8
－y2
10
＝1 B.x2
4
－y2
5
＝1
C.x2
5
－y2
4
＝1 D.x2
4
－y2
3
＝1
(2)(一题多解)设双曲线与椭圆x2
27
＋y2
36
＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交
点的坐标为( 15，4)，则此双曲线的标准方程是 .
解析 (1)由题设知b
a
＝ 5
2
，①
又由椭圆x2
12
＋y2
3
＝1 与双曲线有公共焦点，
易知 a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为x2
4
－y2
5
＝1.
(2)法一 椭圆x2
27
＋y2
36
＝1 的焦点坐标是(0，±3)，
设双曲线方程为y2
a2
－x2
b2
＝1(a>0，b>0)，
根据定义知 2a＝| （ 15－0）2＋（4－3）2－
（ 15－0）2＋（4＋3）2|＝4，
故 a＝2.又 b2＝32－a2＝5，
故所求双曲线的方程为y2
4
－x2
5
＝1.
法二 椭圆 x2
27
＋ y2
36
＝1 的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为y2
a2
－x2
b2
＝1(a>0，
b>0)，则 a2＋b2＝9，又点( 15，4)在双曲线上，所以16
a2
－15
b2
＝1，解得 a2＝4，
b2＝5.故所求双曲线的方程为y2
4
－x2
5
＝1.
法三 设双曲线的方程为 x2
27－λ
＋ y2
36－λ
＝1(27<λ<36)，
由于双曲线过点( 15，4)，故 15
27－λ
＋ 16
36－λ
＝1，
解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).
故所求双曲线方程为y2
4
－x2
5
＝1.
答案 (1)B (2)y2
4
－x2
5
＝1
规律方法 求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c
的方程并求出 a，b，c 的值.与双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲
线方程为x2
a2
－y2
b2
＝λ(λ≠0).
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c
的值.
【训练 2】 (1)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲
线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双曲线的方程为( )
A.x2
9
－y2
13
＝1 B.x2
13
－y2
9
＝1
C.x2
3
－y2＝1 D.x2－y2
3
＝1
(2)(2018·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2＝24y 的焦点重合，其
一条渐近线的倾斜角为 30°，则该双曲线的标准方程为( )
A.x2
9
－y2
27
＝1 B.y2
9
－x2
27
＝1
C.y2
12
－x2
24
＝1 D.y2
24
－x2
12
＝1
解析 (1)由题意知，双曲线的渐近线方程为 y＝±b
ax，即 bx±ay＝0，因为双曲线
的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，所以 |2b|
a2＋b2
＝ 3，由双曲线的一个焦点为
F(2，0)可得 a2＋b2＝4，所以|b|＝ 3，即 b2＝3，所以 a2＝1，故双曲线的方程为
x2－y2
3
＝1.
(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)，
∴可设双曲线的方程为y2
a2
－x2
b2
＝1(a>0，b>0).
∵渐近线方程为 y＝±a
bx，
其中一条渐近线的倾斜角为 30°，
∴a
b
＝ 3
3
，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y2
9
－x2
27
＝1.
答案 (1)D (2)B
考点三 双曲线的性质
【例 3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右顶点为 A，
以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点.
若∠MAN＝60°，则 C 的离心率为 .
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右支
与焦点为 F 的抛物线 x2＝2py(p＞0)交于 A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该
双曲线的渐近线方程为 .
解析 (1)如图，点 M，N 所在的渐近线为 ay－bx＝0，
圆 A 的圆心 A(a，0)到渐近线的距离 d＝ |0－ab|
a2＋b2
，又
M，N 均为圆 A 上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN
＝60°，∴△MAN 为等边三角形，在△MAN 内，A 到边 MN 的距离为 d＝|AM|·
cos 30°＝ 3
2 b，即 |0－ab|
a2＋b2
＝ 3
2 b，解得 a2＝3b2，∴e＝c
a
＝ a2＋b2
a2
＝2 3
3 .
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程：
x2
a2
－y2
b2
＝1，
x2＝2py，
消去 x 得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
由根与系数的关系得 y1＋y2＝2b2
a2 p，
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p
2
＋y2＋p
2
＝4×p
2
，即 y1＋y2＝p，∴2b2
a2 p＝p，即b2
a2
＝
1
2
⇒
b
a
＝ 2
2 .
∴双曲线渐近线方程为 y＝± 2
2 x.
答案 (1)2 3
3 (2)y＝± 2
2 x
规律方法 1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k＝±b
a
满足关系式 e2＝1
＋k2.
2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
a，b，c 的方程或不等式，利用 b2＝c2－a2 和 e＝c
a
转化为关于 e 的方程或不等式，
通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
【训练 3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若 a>1，则双曲线x2
a2
－y2＝1 的离心率的取值范围
是( )
A.( 2，＋∞) B.( 2，2)
C.(1， 2) D.(1，2)
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2
2
－y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C
的两个焦点，若MF1
→ ·MF2
→ <0，则 y0 的取值范围是( )
A.
－ 3
3
， 3
3 B.
－ 3
6
， 3
6
C.
－2 2
3
，2 2
3 D.
－2 3
3
，2 3
3
解析 (1)由题意 e2＝c2
a2
＝a2＋1
a2
＝1＋ 1
a2
，因为 a>1，所以 1<1＋ 1
a2<2，则 10，b>0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经
过 F 和 P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.x2
4
－y2
4
＝1 B.x2
8
－y2
8
＝1
C.x2
4
－y2
8
＝1 D.x2
8
－y2
4
＝1
解析 由 e＝ 2知 a＝b，且 c＝ 2a.
∴双曲线渐近线方程为 y＝±x.
又 kPF＝4－0
0＋c
＝4
c
＝1，∴c＝4，则 a2＝b2＝c2
2
＝8.
故双曲线方程为x2
8
－y2
8
＝1.
答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋
y2＝4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为( )
A.2 B. 3 C. 2 D.2 3
3
解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y＝b
ax，化成一般式 bx－ay＝0，圆心(2，0)
到直线的距离为 22－12＝ |2b|
a2＋b2
，
又由 c2＝a2＋b2 得 c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
答案 A
4.(2018·成都诊断)过双曲线 x2－y2
3
＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲
线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|＝( )
A.4 3
3 B.2 3
C.6 D.4 3
解析 由题意知，双曲线 x2－y2
3
＝1 的渐近线方程为 y＝± 3x，将 x＝c＝2 代入
得 y＝±2 3，即 A，B 两点的坐标分别为(2，2 3)，(2，－2 3)，所以|AB|＝4 3.
答案 D
5.已知 F1，F2 分别为双曲线x2
5
－y2
4
＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，
点 A 在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A. 37＋4 B. 37－4
C. 37－2 5 D. 37＋2 5
解析 由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需
求|AP|＋|AF1|的最小值，
当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，
则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37，
∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝ 37－2 5.
答案 C
二、填空题
6.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x2
a2
－y2
9
＝1(a>0)的一条渐近线方程为 y＝3
5x，则 a
＝ .
解析 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为 y＝±3
ax，结合题意可得：a＝5.
答案 5
7.已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△
OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为 .
解析 根据题意画出草图如图所示
不妨设点 A 在渐近线 y＝b
ax 上
.
由△AOF 是边长为 2 的等边三角形得到∠AOF＝60°，
c＝|OF|＝2.
又点 A 在双曲线的渐近线 y＝b
ax 上，∴b
a
＝tan 60°＝ 3.
又 a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝ 3，
∴双曲线的方程为 x2－y2
3
＝1.
答案 x2－y2
3
＝1
8.(2018·梅州质检)已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2 分别交双曲线 C
左、右支于 M，N.若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线 C 的离心率
为 .
解析 由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|
＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四边形 PF1MF2 为平行四边形，
又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2 中，由余弦定理可得，4c2
＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos 60°，即 4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得 c＝ 3a，所
以 e＝c
a
＝ 3.
答案 3
三、解答题
9.(2018·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，
离心率为 2，且过点 P(4，－ 10).
(1)求双曲线的方程；
(2)(一题多解)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1
→ ·MF2
→ ＝0.
(1)解 ∵e＝ 2，
∴可设双曲线的方程为 x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－ 10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为 x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝ 6，
∴c＝2 3，∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，
∴kMF1
＝ m
3＋2 3
，kMF2
＝ m
3－2 3
，
kMF1
·kMF2
＝ m2
9－12
＝－m2
3 .
∵点 M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故 kMF1
·kMF2
＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1
→ ·MF2
→ ＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝ 6，∴c＝2 3，
∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，
MF1
→ ＝(－2 3－3，－m)，MF2
→ ＝(2 3－3，－m)，
∴MF1
→ ·MF2
→ ＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2，
∵点 M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即 m2－3＝0，
∴MF1
→ ·MF2
→ ＝0.
10.设 A，B 分别为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为
4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 3
3 x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上
存在点 D，使OM→ ＋ON→ ＝tOD→ ，求 t 的值及点 D 的坐标.
解 (1)由题意知 a＝2 3，
∵一条渐近线为 y＝b
ax，即 bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为 3，得 |bc|
b2＋a2
＝ 3.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，
∴双曲线的方程为x2
12
－y2
3
＝1.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中 x0≥2 3.
则 x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程 y＝ 3
3 x－2 代入双曲线方程x2
12
－y2
3
＝1 得 x2－16 3x＋84＝0，
则 x1＋x2＝16 3，y1＋y2＝ 3
3 (x1＋x2)－4＝12.
∴
x0
y0
＝4 3
3
，
x20
12
－y20
3
＝1.
解得 x0＝4 3，
y0＝3.
∴t＝4，点 D 的坐标为(4 3，3).
能力提升题组
(建议用时：20 分钟)
11.(2018·湖北四地七校联考)双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，直线 l 经过点 F1 及虚轴的一个端点，且点 F2 到直线 l 的距离等于实半轴的
长，则双曲线的离心率为( )
A.1＋ 5
2 B.3＋ 5
4
C. 1＋ 5
2 D. 3＋ 5
2
解析 根据题意知直线 l 的方程为 y＝b
cx＋b，即 bx－cy＋bc＝0，因为点 F2 到直
线 l 的距离等于实半轴的长，所以 |2bc|
b2＋c2
＝a，即 4c2(c2－a2)＝a2(－a2＋2c2)，
∴4e4－6e2＋1＝0，解得 e2＝3＋ 5
4
，
∴e＝ 3＋ 5
2
或 e＝－ 3＋ 5
2 (舍去).
答案 D
12.(2018·武汉模拟)已知双曲线 x2－y2
3
＝1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲
线右支上一点，则PA1
→ ·PF2
→ 的最小值为 .
解析 由题可知 A1(－1，0)，F2(2，0).
设 P(x，y)(x≥1)，
则PA1
→ ＝(－1－x，－y)，PF2
→ ＝(2－x，－y)，PA1
→ ·PF2
→ ＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2
＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
因为 x≥1，函数 f(x)＝4x2－x－5 的图象的对称轴为 x＝1
8
，所以当 x＝1 时，PA1
→ ·PF2
→
取得最小值－2.
答案 －2
13.已知椭圆 C1 的方程为x2
4
＋y2＝1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右
顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点.
(1)求双曲线 C2 的方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA→ ·OB→ ＞
2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围.
解 (1)设双曲线 C2 的方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，
则 a2＝3，c2＝4，再由 a2＋b2＝c2，得 b2＝1.
故 C2 的方程为x2
3
－y2＝1.
(2)将 y＝kx＋ 2代入x2
3
－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得
1－3k2≠0，
Δ＝（－6 2k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）＞0，
∴k2≠1
3
且 k2＜1.①
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝ 6 2k
1－3k2
，x1x2＝－ 9
1－3k2.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)
＝(k2＋1)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋7
3k2－1
.
又∵OA→ ·OB→ ＞2，得 x1x2＋y1y2＞2，
∴3k2＋7
3k2－1
＞2，即－3k2＋9
3k2－1
＞0，解得1
3
＜k2＜3.②
由①②得1
3
＜k2＜1，
故 k 的取值范围为 －1，－ 3
3 ∪
3
3
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