2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 求解一元二次不等式可得，‎ 由函数的定义域可得，‎ 利用集合的混合运算法则有： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎2．已知集合，集合 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：分别列举两集合中的元素，观察可知 考点：集合的子集关系 ‎3．设有下面四个命题：‎ ‎①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 ‎②若,则 ‎③“”是“或”的充分不必要条件 ‎④命题“中，若，则”的逆命题为真命题 其中正确命题的个数是( )‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①“若，则与的夹角为锐角,” 向量同向时不是锐角，故原命题为假，逆命题均为真，故①错误；命题②若,则，，故②错误；③原命题等价于“且”是“”的充分不必要条件，故③正确；④命题中，若，故 ④正确，故选B.‎ ‎4．已知，，满足，且，则下列选项中不能恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，满足，且，可得a＜0＜c，而b与0的大小关系不确定，即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，且，‎ ‎∴a＜0＜c，，而b与0的大小关系不确定．‎ ‎∴均正确，而与的大小关系不确定．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R，x2≥0‎ B．∀x∈R,2x－1＞0‎ C．∃x0∈R，lgx0＜1‎ D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A显然正确；由指数函数的性质B正确; 当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确; 因为sinx＋cosx＝‎2‎sin(x+π‎4‎)‎，所以根据三角函数的有界性得到D错误.‎ ‎【详解】‎ A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝‎2‎sin(x+π‎4‎)‎，所以－‎2‎≤sinx＋cosx≤‎2‎，所以D错误.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是全，特称命题的真假判断，较为基础.‎ ‎6．已知集合，且下列三个关系：（1）；（2）；（3）有且只有一个正确，则等于（ ）‎ A．199 B．200 C．201 D．202‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据集合相等的条件，列出所有取值情况，再判断是否符合条件，求出 的值后代入即可求解.‎ 详解：由，得的取值有以下情况：‎ ‎ 当时，或，此时不满足题意；‎ 当时，或，此时不满足题意；‎ 当时，，此时不满足题意；‎ 当时，，此时满足题意，‎ 综上得，代入，故选C.‎ 点睛：本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意在列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏，同时要紧扣集合相等的概念是解答的关键.‎ ‎7．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（CRB）=（　　）‎ A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎.故选D 二、填空题 ‎8．点是不等式组表示的平面区域内的一动点，使的值取得最小的点为，则（为坐标原点)的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足约束条件的平面区域，然后利用角点法求出满足条件使的值取得最小的点的坐标，结合平面向量的数量积运算公式，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 满足约束条件的平面区域如图所示，‎ 由图可知，当时，取得最小值 故 设 则 则当与重合时，取最小值0；‎ 当点坐标为时，取最大值6；‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是简单线性规划，及平面向量的数量积的运算，其中根据约束条件画出可行域，进而根据角点法求出最优解是解答本题的关键．‎ ‎9．已知实数，且满足，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，的关系，代入运用基本不等式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故答案为：17．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查消元代入法及基本不等式的应用，考查转化与化归思想，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三等”三个条件都需满足．‎ ‎10．命题“"x∈N，x2≠x”的否定是 ．‎ ‎【答案】$x∈N，x2＝x ‎【解析】试题分析：根据全称命题“‎∀x,p”的否定为“‎∃x,¬p”，得命题“"x∈N，x2≠x”的否定“‎∃x>0,x‎2‎=x”，解决此类问题须注意条件x∈N不能变.‎ 考点：全称命题的否定 ‎11．命题那么： .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以为 考点：全称命题与特称命题 ‎12．命题“”的否定是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按规则写出存在性命题的否定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定为：“，”，填，.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎13．函数的定义域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令被开方数大于等于0及分母不为0，求出x的范围，即为定义域．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义需 ‎⇒ ‎ 解得．‎ 故答案为：（，3]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域及其求法．求函数的定义域遇到开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间．‎ ‎14．下列命题中正确的是________.(只填序号)‎ ‎①“若 ，则 x，y 不全为零”的否命题；‎ ‎②“正三角形都相似”的逆命题；‎ ‎③“若 m>0，则 有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若 x－ 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①原命题的否命题为“若，则 x，y全为零”，易知其为真命题；‎ ‎②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，因为两个三角形相似时它们不一定是正三角形，可知其为假命题；‎ ‎③原命题的逆否命题为“若无实根，则 m ‎≤0”．由方程无实根，则Δ<0可解得m的范围，进而进行判断；‎ ‎④原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数，则 x－不是有理数”．因为有理数减去一个无理数还是无理数，故可判断其真假.‎ ‎【详解】‎ ‎①原命题的否命题为“若，则 x，y全为零”．真命题．‎ ‎②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．‎ ‎③原命题的逆否命题为“若无实根，则 m≤0”．‎ ‎∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0.‎ ‎∴ .真命题．‎ ‎④原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数，则 x－不是有理数”．‎ ‎∵x不是无理数，∴x是有理数．‎ 又 是无理数，∴x－是无理数，不是有理数．真命题．‎ 故正确的命题为①③④.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查四种命题，并对命题进行真假判断. ‎ 四种命题的结构关系：‎ 原命题：“若p，则q”，则它的逆命题是“若q，则p”， 否命题是“若非p，则非q”， 逆否命题是“若非q，则非p”.‎ ‎15．已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将x和a分开得，设，则关于的方程在上有解，等价于的值域有交集，，求出在上的值域为[-15,-1）,所以只要让 ，即，‎ 考点：本题考查分离参数法 点评：将方程有解转化为两函数值域有交集，求出含x的函数的值域，等于另外一个含a的函数的值域，求出a的范围 ‎16．若,且,则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，则，‎ ‎，，则 ‎，则 考点：1.均值不等式；2.1的妙用、做乘法；‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，对任意的，恒有．‎ ‎（1）证明：．‎ ‎（2）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎ （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，并化简不等式得，再根据一元二次不等式恒成立得，最后利用基本不等式得结论.（2）先讨论时，不等式恒成立，再讨论时，利用变量分离法将不等式恒成立转化为对应函数最值问题，根据函数单调性求得函数最值即得的取值范围，最后确定的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知．由题设，对任意的，，即恒成立，所以，从而 ‎． ‎ 于是，且，因此． ‎ ‎（2）由（1）知，．当时，有 ‎． ‎ 令，则，． ‎ 而函数的值域是．‎ 因此，当时，的取值集合为． ‎ 当时，由（1）知，，．此时或0，‎ ‎，从而恒成立．‎ 综上所述，的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.‎ ‎18．已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）为函数图像上的任一点，作轴于点，轴于点（为坐标原点），求矩形周长的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得到，设，根据题意得到，周长为，再结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数是奇函数，并且函数的图象经过点，‎ 所以，解得，；‎ ‎（2）由（1）可得，，设，‎ 由题意可得，周长为 当且仅当时取等号；‎ 故矩形周长的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及基本不等式的应用，熟记函数奇偶性，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎19．‎ 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ ‎【答案】（Ⅰ）y=225x+‎ ‎（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2‎ ‎，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎（2）‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ 考点：函数模型的选择与应用 ‎20．已知函数f(x)=x‎2‎+(1−k)x+2−k．‎ ‎（1）解关于x的不等式f(x)<2‎；‎ ‎（2）对任意的x∈‎(﹣1，2)，f(x)≥1‎恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】：（1）当k>-1‎时，解集为‎-1,k,当k=-1‎时，解集为‎∅‎. 当k<-1‎时，解集为k,-1‎.（2）‎k≤1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按照k与﹣1的大小分三种情况讨论；（2）分离参数k后，构造函数，利用基本不等式求得最小值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为f（x）＜2，‎ ‎∴x2+（1﹣k）x﹣k＜0，‎ ‎∴（x+1）（x﹣k）＜0‎ 当k＞﹣1时，﹣1＜x＜k，‎ 当k=﹣1时，不等式无解，‎ 当k＜﹣1时，k＜x＜﹣1，‎ 综上所述：当k＞﹣1时，不等式的解集为（﹣1，k）；‎ 当k=﹣1时，不等式无解；‎ 当k＜﹣1时，不等式的解集为（k，﹣1）；‎ ‎（2）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1⇔k≤=x+1+﹣1恒成立，‎ 令g（x）=x+1+﹣1，x∈（﹣1，2），则k≤g（x）min ‎∵g（x）≥2﹣1=1，即g（x）min=1，‎ 故k≤1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含参数的一元二次不等式的解法、不等式恒成立、基本不等式．属中档题．解一元二次不等式，经常会和二次函数的图像结合，需要考虑的有：二次函数的二次项系数，两根关系等.‎ ‎21．已知，，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据分式不等式以及一元二次不等式求出命题和，命题“若则”为假命题，命题“若则”为真命题可得出为的充分不必要条件，，从而求出的范围.‎ 试题解析：， ，因为“若则”假，“若则”真，所以为的充分不必要条件，‎ 所以为的充分不必要条件，所以 ，‎ 所以有或，（或写成（等号不能同时成立））解得.‎ ‎22．设z＝y＋ax,变量x,y满足条件或若使z取得最小值的点(x,y)有且仅有两个,求a的值.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再结合图象确定满足题意的条件，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出约束条件表示的可行域如图所示，要使目标函数取得最小值的点有且只有两个，则可知目标函数只能同时通过，两点，易求得，，过，两点的直线的斜率为，所以的值为1.‎ ‎【点睛】‎ 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎23．命题“若，则”，请写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假．‎ ‎【答案】逆命题：若，则（假）；否命题：若，则（假）；逆否命题：若，则（真）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 交换条件和结论,可得逆命题;既否定条件,又否定结论,可得否命题;交换条件和结论,且将条件和结论都否定,可得逆否命题.然后判断真假.‎ ‎【详解】‎ 逆命题：若，则,该命题为假命题,因为还可能得到;‎ 否命题：若，则,该命题为假命题,因为逆命题和否命题互为逆否命题且逆命题为假命题,所以否命题也是假命题.‎ 逆否命题：若，则,该命题是真命题,因为原命题是真命题.‎ 故答案为: 逆命题：若，则（假）；否命题：若，则（假）；逆否命题：若，则（真）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了四种命题及其真假判断,判断一个命题的真假时,可以转化为判断其逆否命题的真假,属于基础题.‎