【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-3二项式定理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-3二项式定理学案

‎§11.3　二项式定理 考纲展示►　‎ ‎1.能利用计数原理证明二项式定理．‎ ‎2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ 考点1　二项展开式中特定项或系数问题 二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝________________‎ 二项式系数 二项展开式中各项系数C ‎(k＝0,1，…，n)‎ 二项式通项 Tk＋1＝________，它表示第 ‎________项 答案：Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)　Can－kbk　k＋1‎ ‎(1)[教材习题改编](1－2x)7的展开式的第4项的系数是________．‎ 答案：－280‎ 解析：展开式中，Tr＋1＝C·(－2x)r＝C·(－2)rxr，当r＝3时，T4＝C·(－2)3·x3＝－280x3，所以第4项的系数为－280.‎ ‎(2)[教材习题改编]12的展开式的常数项是________．‎ 答案：495‎ 解析：展开式中，Tr＋1＝Cx12－r·r＝(－1)rCx12－3r，当r＝4时，T5＝C＝495为常数项.‎ ‎[典题1]　(1)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　　)‎ A．10 B．－‎10 C．－5 D．20‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由二项式定理可知，‎ 展开式的通项为C(－1)rx10－3r，‎ 令10－3r＝4，得r＝2，‎ 所以含x4项的系数为C(－1)2＝10，故选A.‎ ‎(2)[2017·吉林长春模拟]5的展开式中的常数项为(　　)‎ A．80 B．－‎80 C．40 D．－40‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵Tr＋1＝C(x2)5－rr ‎＝(－2)rCx10－5r，‎ 由10－5r＝0，得r＝2，‎ ‎∴T3＝(－2)‎2C＝40.‎ ‎(3)[2015·湖南卷]已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)‎ A. B．－ ‎ C．6 D．－6‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　Tr＋1＝C()5－r·r ‎＝C(－a)rx，由＝，解得r＝1.‎ 由C(－a)＝30，得a＝－6.故选D.‎ ‎(4)8的展开式中的有理项共有________项．‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　8的展开式的通项为Tr＋1＝C·()8－rr＝－rCx (r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．‎ ‎(5)二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　二项展开式的的通项是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r，‎ 令3n－5r＝0，得n＝(r＝0,1,2，…，n)，‎ 故当r＝3时，n有最小值5.‎ ‎[点石成金]　1.求展开式中的特定项，可依据条件 写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k的值即可．‎ ‎2．已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k的值，最后求出其参数．‎ 考点2　二项式系数及项的系数问题 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 二项式系数的性质 答案：相等　递增的　递减的　一项　两项 ‎2n　2n－1‎ 二项式系数与项的系数的区别．‎ 已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．‎ 答案：29‎ 解析：因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.‎ ‎1.系数和：赋值法．‎ 若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．‎ 答案：8‎ 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝16.故a0＋a2＋a4＝8.‎ ‎2．通项公式：Tr＋1＝Can－rbr.‎ 7的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)‎ 答案：35‎ 解析：Tr＋1＝C(x3)7－rr＝C·x21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，因此x5的系数为C＝35.‎ ‎[典题2]　[2017·四川成都一中模拟]设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)‎ A．－2 B．－1 ‎ C．1 D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　令等式中x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.‎ ‎[点石成金]　1.赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎2．二项式系数最大项的确定方法 ‎(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；‎ ‎(2)如果n是奇数，则中间两项第项与第＋1项的二项式系数相等并最大.‎ ‎1.在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)‎ A．8 B．‎9 C．10 D．11‎ 答案：C 解析：二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为，即得＝5，解得n＝10.‎ ‎2．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)‎ A．1或3 B．－3‎ C．1 D．1或－3‎ 答案：D 解析：令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.‎ 令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.‎ 又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，‎ ‎∴(1＋m)6＝64＝26，‎ ‎∴m＝1或m＝－3.‎ 考点3　多项式展开式中的特定项或系数问题 ‎[考情聚焦]　在高考中，常常涉及一些多项式问题，主要考查学生的化归能力．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 ‎[典题3]　[2017·山东荣成模拟]在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)‎ A．10 B．‎15 C．20 D．25‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.‎ 角度二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 ‎[典题4]　[2015·新课标全国卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.‎ 令x＝1，得 ‎(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①‎ 令x＝－1，得 ‎0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，‎ ‎∴a＝3.‎ 角度三 三项展开式中的特定项(系数)问题 ‎[典题5]　[2015·新课标全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．‎20 C．30 D．60‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 解法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.‎ ‎[点石成金]　1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．‎ ‎2．对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．‎ ‎3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．‎ 考点4　二项式定理的应用 ‎[典题6]　(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C．11 D．12‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…－C×52＋C＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…－C×52能被13整除，且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，‎ 又0≤a<13，因此a的值为12.‎ ‎(2)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．‎ ‎[证明]　∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ‎＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1‎ ‎＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1‎ ‎＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，‎ 显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，‎ ‎∴原式能被31整除．‎ ‎(3)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N*)．‎ ‎[证明]　当n≥3，n∈N*时，‎ ‎2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C ‎≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，‎ ‎∴不等式成立．‎ ‎[点石成金]　1.整除问题和求近似值是二项式定理的两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．‎ ‎2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．‎ ‎3．由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．‎ ‎1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．1 ‎ C．－87 D．87‎ 答案：B 解析：1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，‎ ‎∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ ‎[方法技巧]　二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程组)的问题，这里必须注意n是正整数，k是非负整数，且k≤n.‎ ‎(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项．‎ ‎(2)常数项：即项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程．‎ ‎(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅰ](2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)‎ 答案：10‎ 解析：由(2x＋)5，得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－ rCx，令5－＝3，得r＝4，此时系数为10.‎ ‎2．[2016·北京卷]在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)‎ 答案：60‎ 解析：(1 －2x)6的展开式的通项Tr＋1＝C(－2)rxr，‎ 当r＝2时，T3＝C(－2)2x2＝60x2，‎ 所以x2的系数为60.‎ ‎3．[2016·天津卷]8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)‎ 答案：－56‎ 解析：二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56.‎ ‎4．[2016·山东卷]若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.‎ 答案：－2‎ 解析：5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x＝Ca5－r·x，令10－r ＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.‎ ‎5．[2014·新课标全国卷Ⅰ](x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ 答案：－20‎ 解析：x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，‎ x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，‎ ‎∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 二项展开式中赋值法的应用 ‎[典例]　在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．‎ ‎[审题视角]　求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解．‎ ‎[解]　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)‎ 各项系数的和即为a0＋a1＋…＋a10，‎ 奇数项系数的和为a0＋a2＋…＋a10，‎ 偶数项的系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，‎ x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.‎ 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎∴奇数项系数的和为；‎ ‎①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数的和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.‎ 方法点睛 ‎(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋‎ c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数的和为f(1)，奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＝，令x＝0，可得a0＝f(0)．‎