2019届二轮复习　离散型随机变量的均值与方差课件（48张）（全国通用）

2019届二轮复习　离散型随机变量的均值与方差课件（48张）（全国通用）

第 9 节　离散型随机变量的均值与方差 最新考纲　 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； 2. 能计算简单离散型随机变量的均值、方差 ， 并能解决一些简单实际问题 . (1) 均值 称 E ( X ) ＝ ____________________________ 为 随机变量 X 的均值 或 __________ ， 它反映了离散型随机变量取值 的 ___________ . 知 识 梳 理 1. 离散型随机变量的均值与方差 若 离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 数学期望 平均水平 平均偏离 程度 标准差 2. 均值与方差的性质 ( 1) E ( aX ＋ b ) ＝ __________ . ( 2) D ( aX ＋ b ) ＝ __________ ( a ， b 为常数 ). 3. 两点分布与二项分布的均值、方差 ( 1) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ ___ ， D ( X ) ＝ __________ . ( 2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ _____ ， D ( X ) ＝ ___________ . aE ( X ) ＋ b a 2 D ( X ) p (1 － p ) p np np (1 － p ) 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) ( 1) 期望值就是算术平均数，与概率无关 .( 　　 ) ( 2) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .( 　　 ) ( 3) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小 .( 　　 ) ( 4) 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析　 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平 ， 而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度 ， 因此它们不是一回事 ， 故 (1)(4) 均不正确 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 2. 已知离散型随机变量 X 的分布列为 答案　 A 3. ( 选修 2 － 3P68A1 改编 ) 已知 X 的分布列为 答案　 A 答案　 B 5. (2018· 北京海淀区月考 ) 如果随机变量 X ～ B ( n ， p ) ，且 E ( X ) ＝ 7 ， D ( X ) ＝ 6 ，则 p ＝ ________. ξ 的分布列为 规律方法 　 (1) 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值 ， 写出随机变量的分布列 ， 正确运用均值、方差公式进行计算 . (2) 注意 E ( aX ＋ b ) ＝ aE ( X ) ＋ b ， D ( aX ＋ b ) ＝ a 2 D ( X ) 的应用 . 【训练 1 】 (2018· 蚌埠二模 ) 赌博有陷阱 . 某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 的小球中随机摸取一个 ( 除数字不同外，其余均相同 ) ，将小球上的数字作为其赌金 ( 单位：元 ) ，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的 2 倍作为其奖金 ( 单位：元 ). 若随机变量 X 和 Y 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E ( X ) － E ( Y ) ＝ ________ 元 . 答案　 3 考点二　与二项分布有关的均值与方差 【例 2 】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示 . 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 . (1) 求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望 E ( X ) 及方差 D ( X ). 解　 (1) 设 A 1 表示事件 “ 日销售量不低于 100 个 ” ， A 2 表示事件 “ 日销售量低于 50 个 ” ， B 表示事件 “ 在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个 ” ，因此 P ( A 1 ) ＝ (0.006 ＋ 0.004 ＋ 0.002) × 50 ＝ 0.6 ， P ( A 2 ) ＝ 0.003 × 50 ＝ 0.15 ， P ( B ) ＝ 0.6 × 0.6 × 0.15 × 2 ＝ 0.108. (2) X 可能取的值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，相应的概率为 因为 X ～ B (3 ， 0.6) ，所以数学期望 E ( X ) ＝ 3 × 0.6 ＝ 1.8 ， 方差 D ( X ) ＝ 3 × 0.6 × (1 － 0.6) ＝ 0.72. X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 规律方法 　 二项分布的期望与方差 . (1) 如果 ξ ～ B ( n ， p ) ， 则用公式 E ( ξ ) ＝ np ； D ( ξ ) ＝ np (1 － p ) 求解 ， 可大大减少计算量 . (2) 有些随机变量虽不服从二项分布 ， 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 ， 这时 ， 可以综合应用 E ( aξ ＋ b ) ＝ aE ( ξ ) ＋ b 以及 E ( ξ ) ＝ np 求出 E ( aξ ＋ b ) ， 同样还可求出 D ( aξ ＋ b ). 【训练 2 】 (2018· 长沙调研 ) 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量 ( 单位：克 ) ，按照 [27.5 ， 32.5) ， [32.5 ， 37.5) ， [37.5 ， 42.5) ， [42.5 ， 47.5) ， [47.5 ， 52.5] 分为 5 组，其频率分布直方图如图所示 . (1) 求图中 a 的值； (2) 估计这种植物果实重量的平均数 x 和方差 s 2 ( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ) ； (3) 已知这种植物果实重量不低于 32.5 克的即为优质果实，用样本估计总体 . 若从这种植物果实中随机抽取 3 个，其中优质果实的个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 E ( X ). 解 　 (1) 组距 d ＝ 5 ，由 5 × (0.02 ＋ 0.04 ＋ 0.075 ＋ a ＋ 0.015) ＝ 1 得 a ＝ 0.05. (2) 各组中点值和相应的频率依次为 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 X 的分布列为 ∴ E ( X ) ＝ np ＝ 2.7. X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 所以，随机变量 X 的分布列为 解　 若按 “ 项目一 ” 投资，设获利为 X 1 万元 . 则 X 1 的分布列为 规律方法 　 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 ， 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 ， 它们从整体和全局上刻画了随机变量 ， 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 . 一般先比较均值 ， 若均值相同 ， 再用方差来决定 . 【训练 3 】 (2018· 河南百校联盟调研 ) PM2.5 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的 PM2.5 值的数据中随机抽取 40 天的数据，其频率分布直方图如图所示 . 现将 PM2.5 的值划分为如下等级 用频率估计概率 . PM2.5 值 [0 ， 100) [100 ， 150) [150 ， 200) [200 ， 250] 等级 一级 二级 三级 四级 (1) 估计该市在下一年的 360 天中空气质量为一级天气的天数； (2) 在样本中，按照分层抽样的方法抽取 8 天的 PM2.5 值的数据，再从这 8 个数据中随机抽取 5 个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率； (3) 如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天 PM2.5 值 X 近似满足 X ～ N (115 ， 75 2 ) ，则治理后的 PM2.5 值的均值比治理前大约下降了多少？ 解 　 (1) 由样本空气质量 PM2.5 的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表： 由上表可知，如果该市维持现状不变，则该市下一年的某一天空气质量为一级天气的概率为 0.25 ， 因此在 360 天中约有 360 × 0.25 ＝ 90 天 . PM2.5 值 [0 ， 50) [50 ， 100) [100 ， 150) [150 ， 200) [200 ， 250] 频率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 (2) 在样本中，按照分层抽样的方法抽取 8 天的 PM2.5 值数据，则这 8 个数据中一级、二级、三级、四级天气的数据分别有 2 个、 3 个、 2 个、 1 个 . 从这 8 个数据中随机抽取 5 个，则这四种天气都有三种情况：一级天气的数据有 2 个，其余的均为 1 个；二级天气的数据有 2 个，其余的均为 1 个；三级天气的数据有 2 个，其余的均为 1 个 . (3) 如果该市维持现状不变，则该市的 PM2.5 值的均值约为 E ( Y ) ＝ 25 × 0.125 ＋ 75 × 0.125 ＋ 125 × 0.375 ＋ 175 × 0.25 ＋ 225 × 0.125 ＝ 131.25. 如果该市对环境进行治理，则该市的 PM2.5 值 X 的均值为 E ( X ) ＝ 115 ， 因此该市治理后的 PM2.5 值的均值比治理前大约下降了 16.25.