【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式的性质与一元二次不等式 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式的性质与一元二次不等式 学案

第1节　不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．‎ 知 识 梳 理 ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2．不等式的性质 ‎(1)对称性：a＞b⇔b＜a；‎ ‎(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；‎ ‎(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；‎ ‎(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；‎ ‎(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；‎ ‎(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．‎ ‎3．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0‎ ‎(a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)‎ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实 数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．‎ ‎2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．‎ 诊 断 自 测 ‎1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)‎ 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.‎ ‎(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立．‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.‎ 答案　B ‎3．当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－3 C．－1 D．－ 解析　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.‎ 答案　A ‎4．(2018·诸暨质检)已知A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{x|x2－x－2≤0}，则A∪B＝________，(∁RA)∩B＝________．‎ 解析　∵A＝{x|－2≤x≤0}，∴∁RA＝{x|x＜－2或x＞0}，又B＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，∴A∪B＝{x|－2≤x≤2}，∴(∁RA)∩B＝{x|0＜x≤2}．‎ 答案　[－2，2]　(0，2]‎ ‎5．(2017·金华模拟)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＝________，b＝________．‎ 解析　由题意知，方程ax2＋bx＋2＝0的两根为x1＝－，x2＝，又即 解得 答案　－12　－2‎ ‎6．(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m ‎＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．‎ 解析　由题意知Δ＝[(m＋1)]2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，‎ 解得m＞－3＋2或m＜－3－2.‎ 答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)‎ 考点一　比较大小及不等式的性质的应用 ‎【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b ‎(2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ 解析　(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.‎ 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，‎ ‎∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，‎ ‎∴b>a，∴c≥b>a.‎ ‎(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.‎ 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝‎ ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．综上所述，可排除A，B，D.‎ 法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；‎ ‎②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，‎ 即|a|＋b＜0，故②错误；‎ ‎③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，‎ 所以a－＞b－，故③正确；‎ ‎④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y ‎＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．‎ 答案　(1)A　(2)C 规律方法　(1)比较大小常用的方法：‎ ‎①作差法；②作商法；③函数的单调性法．‎ ‎(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．‎ ‎【训练1】 (1)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)‎ A．p≥q B．p>q C．p2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝≤＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.‎ ‎(2)令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋.‎ 答案　(1)A　(2)B 考点二　一元二次不等式的解法(多维探究)‎ 命题角度1　不含参的不等式 ‎【例2－1】 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．‎ 解　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，‎ 解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，‎ ‎∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪，‎ 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪.‎ 命题角度2　含参不等式 ‎【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．‎ 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.‎ ‎②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，‎ 解得x≥或x≤－1.‎ ‎③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；‎ 当＜－1，即－20}，集合B＝{x|2x<2}，则 A∩B等于(　　)‎ A．(1，3) B．(－∞，－1) C．(－1，1) D．(－3，1)‎ 解析　依题意，可求得A＝(－1，3)，B＝(－∞，1)，‎ ‎∴A∩B＝(－1，1)．‎ 答案　C ‎4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}‎ C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}‎ 解析　由题意知a＝0时，满足条件．‎ a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.‎ 答案　D ‎5．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0) B．(2，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定 解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线 x＝1对称，即＝1，解得a＝2.‎ 又因为f(x)开口向下，‎ 所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，‎ 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，‎ f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，‎ 解得b＜－1或b＞2.‎ 答案　C ‎6．(2018·杭州质检)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则(　　)‎ A．a＋b－c的最小值为2‎ B．a－b＋c的最小值为－4‎ C．a＋b－c的最大值为4‎ D．a－b＋c的最大值为6‎ 解析　由题意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，‎ ‎－5≤c≤5，则2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；－6≤a－b＋c≤4，则a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________．‎ 解析　由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．‎ 答案　{x|x＞1}‎ ‎8．若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a ‎＞0的解集为________．‎ 解析　由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.‎ 答案　 ‎9．不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．‎ 解析　因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，‎ 由二次不等式的性质可得，‎ Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，‎ 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，‎ 解得－8≤λ≤4.‎ 答案　[－8，4]‎ ‎10．(2018·丽水调研)若关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b]，则a＝________，b＝________．‎ 解析　令f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1，其图象对称轴为x＝2.若a≥2，则a，b是方程f(x)＝x的两个实根，解得a＝，b＝4，矛盾；‎ 若b≤2，则f(a)＝b，f(b)＝a，两式相减得a＋b＝，代入可得a＝b＝，矛盾；‎ 若a<2b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3‎ 解析　A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a>b－1，反之，由a>b－1不能推出a>b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.‎ 答案　A ‎14．(一题多解)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是(　　)‎ A．{x|x<－ln 2或x>ln 3}‎ B．{x|ln 20，可得0的解集为，令0在R上有解；由于Δ＝a2＋8＞0恒成立，‎ 所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，‎ 于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a∈‎ .‎ 答案　R　 ‎16．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．‎ 解　原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.‎ ‎(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是∅；‎ 当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.‎ ‎(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，‎ 即原不等式的解集是{x|x＞2}．‎ ‎(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，‎ 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＞0，‎ 由于＜2，故原不等式的解集是.‎ 综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为∅；当a＞时，不等式的解集为.‎ ‎17．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)．‎ ‎(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．‎ 解　(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，‎ f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，‎ 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①‎ 由方程f(x)＋6a＝0，‎ 得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②‎ 因为方程②有两个相等的实根，‎ 所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，‎ 即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.‎ 由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，‎ 得f(x)＝－x2－x－.‎ ‎(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a－及a<0，可得f(x)的最大值为－.‎ 由 解得a<－2－或－2＋

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