2019届二轮复习小题满分限时练（三）作业（全国通用）
限时练(三)
(限时：45分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x2－x－6<0}，则( )
A.A∩B＝{x|x<1} B.A∪B＝R
C.A∪B＝{x|x<2} D.A∩B＝{x|－2
0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，要得到函数y＝cos－的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析 f(x)＝2sin ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx－＝sin－
又f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
∴f(x)的最小正周期T＝π，则ω＝1.
所以f(x)＝sin－.
又f＝sin－＝cos－，
∴要得到y＝cos－的图象，只需将f(x)的图象向左平移个单位长度.
答案 D
11.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为原点，则双曲线C的离心率为( )
A.5 B. C. D.
解析 在直线4x－3y＋20＝0中，令y＝0，得x＝－5，故c＝5，取右焦点为F′，由|OF|＝|OP|＝|OF′|，可得PF⊥PF′.由直线4x－3y＋20＝0，可得tan∠F′FP＝，又|FF′|＝10，故|PF|＝6，|PF′|＝8.
∴|PF′|－|PF|＝2＝2a，∴a＝1，又∵2c＝10，c＝5，
故双曲线C的离心率e＝＝5.
答案 A
12.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色.先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后
面的最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )
A.3 971 B.3 972 C.3 973 D.3 974
解析 由题意，设第1组的数为1；第2组的数为2，4；第3组的数为5，7，9，…，根据等差数列的前n项和，前n组共有个数.
由于2 016＝<2 018<＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数.
由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数为632，632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.
答案 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，
∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.
答案 y2＝－8x
14.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若
sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，则A＝________.
解析 在△ABC中，由sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
∴cos Asin B＝2sin Acos A，
即cos A(sin B－2sin A)＝0.
则cos A＝0或sin B＝2sin A.
①若cos A＝0，则A＝；
②若sin B＝2sin A，则b＝2a.
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，且c＝2，C＝.
∴a2＋b2－ab＝4，
联立b＝2a，得a＝，b＝，
则b2＝a2＋c2，B＝，从而A＝.
答案 或
15.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和点F分别在线段BC和DC上，＝λ，＝，则·的最小值为________.
解析 法一 由题意，得AD＝CD＝BC＝1，AB＝2，
∴·＝(＋)·(＋)
＝(＋λ)·
＝·＋λ·＋·＋·
＝||||·cos 60°＋λ||||cos 60°
＋||||cos 0°＋||||cos 120°
＝2×1×＋＋－＝＋＋
≥＋2＝(当且仅当λ＝时，等号成立).
法二 如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，过点D作DG⊥AB交AB于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，
由题意得，AB∥DC，AB＝2，AD＝BC＝1，∠ABC＝60°，
∴AG＝BH＝ADcos 60°＝，
同理，DG＝CH＝，
∴A(0，0)，B(2，0)，C，D，
∴＝，＝(1，0)，＝(2，0)，＝.
∵＝λ＝，＝＝，
∴＝＋＝，
＝＋＝，
∴·＝·
＝＋＋≥＋2＝＋＝(当且仅当λ＝时等号成立).
答案
16.已知函数f(x)＝x＋aln x(a>0)，若∀x1，x2∈(x1≠x2)，|f(x1)－f(x2)|>，则正数a的取值范围是________.
解析 由f(x)＝x＋aln x(a>0)，得当x∈时，f′(x)＝1＋>0，
f(x)在上单调递增，不妨设x1>x2，
则|f(x1)－f(x2)|>，
即f(x1)－f(x2)>－，f(x1)＋>f(x2)＋，
令g(x)＝f(x)＋，则g(x)在上单调递增，
所以g′(x)＝1＋－≥0在上恒成立，
≥－1，即a≥－x在上恒成立，
令h(x)＝－x，x∈，
则h′(x)＝－1－<0，h(x)单调递减，
h(x)
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