【数学】2021届一轮复习人教A版等差数列学案

【数学】2021届一轮复习人教A版等差数列学案

‎2021届一轮复习人教A版 等差数列 学案 ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。‎ ‎(2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝。‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝。‎ ‎3．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列。‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。‎ ‎(6)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列。‎ ‎(7)S2n－1＝(2n－1)an。‎ ‎(8)若项数n为偶数，则S偶－S奇＝；‎ 若项数n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。‎ ‎　‎ ‎1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。‎ ‎2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。‎ ‎3．等差数列与函数的关系 ‎(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。‎ ‎(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0。‎ 一、走进教材 ‎1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2，7，…，则该数列的第100项为________。‎ 解析　依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487。‎ 答案　487‎ ‎2．(必修5P‎46A组T5改编)已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________。‎ 解析　由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)。‎ 答案　(75n－5n2)‎ 二、走近高考 ‎3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)‎ A．－12 B．－10‎ C．10 D．12‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，根据题中的条件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10。故选B。‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3S3＝S3－a3＋S3＋a4，所以S3＝a4－a3，所以‎3a1＋d＝d，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。故选B。‎ 答案　B ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得故选C。‎ 解析：由等差数列的性质得S6＝3(a3＋a4)＝48⇒a3＋a4＝16　①，又a4＋a5＝24　②，②－①得2d＝8，所以d＝4。故选C。‎ 答案　C 三、走出误区 微提醒：①错用公式致误；②求前n项和最值的方法不当致误；③错用性质致误。‎ ‎5．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．99‎ C．98 D．97‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98。‎ 答案　C ‎6．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________。‎ 解析　由题意知d<0且即解得－10。所以S4 034＝＝2 017(a2 018＋a2 017)<0，S4 035＝＝4 ‎035a2 018>0，可知Sn<0时n的最大值是4 034。故选D。‎ 答案　D 本题借助等差数列的性质求出Sn<0中n的取值范围，从而求出n的最大值，这种题型要与Sn的最值区别开来。‎ ‎【题点对应练】　‎ ‎1．(方向1)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析　由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值。故选C。‎ 答案　C ‎2．(方向2)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a‎4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________。‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，又a‎4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，所以a‎2a3＝－12为anan＋1的最小值；当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，所以a‎7a8＝－12为anan＋1的最小值。综上，anan＋1的最小值为－12。‎ 答案　－12‎ ‎1．(配合例2使用)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝。‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式。‎ 解　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列。‎ ‎(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝(n∈N*)。‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－。‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式。‎ 故an＝ ‎2．(配合例3使用)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n 都有＝，则＋的值为________。‎ 解析　因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝。故＝＝＝＝＝。‎ 答案　 ‎3．(配合例3使用)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________。‎ 解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5。所以n≤5时，an≤0；当n>5时，an>0。所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130。‎ 答案　130‎ ‎4．(配合例4使用)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)‎ A．5　　　　B．‎6 C．7　　　　D．8‎ 解析　解法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0。根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大。‎ 解法二：由S3＝S11，可得‎3a1＋3d＝‎11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n(n∈N*)。根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大。‎ 答案　C ‎5．(配合例5使用)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,6Sn＝a＋3an(n∈N*)，bn＝，若∀n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是(　　)‎ A．　　　B． C．49　　　D. 解析　已知6Sn＝a＋3an(n∈N*)，6Sn－1＝a＋3an－1(n∈N*)，两式作差得6an＝a－a＋3an－‎ ‎3an－1，即a－a－3an－3an－1＝0，即(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0，由an>0可得an－an－1＝3，故数列{an}是等差数列，且‎6a1＝a＋‎3a1，解得a1＝3，由等差数列的通项公式得到an＝3n(n∈N*)，故bn＝＝(n∈N*)，裂项求和可得Tn＝＝－·(n∈N*)，由条件k>Tn恒成立，因为Tn<，所以k≥，即k的最小值为。‎ 答案　B