2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．已知命题“”，则命题为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知命题p是全称性命题，由全称性命题的否定是特称命题。‎ ‎【详解】‎ 由已知，命题为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即．故正确答案为D．‎ ‎【点睛】‎ 全称命题与特称命题的否定 ‎（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．‎ ‎（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”．‎ ‎（3）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ p：a≠0，q：ab≠0，显然a≠0，不一定有ab≠0，但是ab≠0⇒a≠0，‎ 所以p是q的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 判断充要条件的方法是：‎ ‎①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；‎ ‎②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；‎ ‎③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；‎ ‎④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．‎ ‎⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎3．已知，，（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 求解二次不等式可得：，‎ 求解指数不等式可得：，‎ 利用交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．设，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵,‎ ‎∴ ,当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴ 的最小值为6.故选C.‎ ‎5．在三角形ABC中，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件．‎ 考点：充分不必要条件的判定．‎ ‎6．已知集合，,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵集合，， ∴，故选C.‎ ‎7．在中，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．既不充分也不必要条件 ‎ D．充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得，则，所以选D.‎ 考点：充分条件、必要条件.‎ ‎【易错点晴】判断充分、必要条件时应注意的问题(1)要弄清先后顺序：“的充分不必要条件是”是指B能推出，且不能推出；而“是 的充分不必要条件”则是指能推出，且不能推出；(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．‎ ‎8．已知集合，集合，则　　‎ A． B．‎ C．， D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，据此结合补集的运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的定义域，以及指数函数的单调性，补集的运算．‎ ‎9．设，且 （其中），则的范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以 由均值不等式得，．‎ 考点：均值不等式在不等式中的运用．‎ ‎10．已知全集，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，故 考点：集合的运算 ‎11．已知p：x0∈R，.q：x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，可知，p,q都为假命题，可知其否定为真命题，结合二次函数性质，计算m的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合p∨q为假命题，可知p为假命题，q为假命题，p的否定为：‎ 为真命题，得到，q的否定为：，得到 ‎，综上所述，得到，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全特称命题的否定，及根据其真假求参数，难度中等。‎ ‎12．函数f(x)=lnx−‎‎2‎x的零点所在的大致区间是( )‎ A．（1,2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．‎ 又∵f(2)="ln2-1" =ln2-1＜0，f(e)=lne-2‎÷‎e =1-2‎÷‎e ＞0，∴f（2）•f（e）＜0，‎ ‎∴函数f（x）="Inx-2"‎÷‎x 的零点所在的大致区间是（2，e）．‎ 故选C 二、填空题 ‎13．若，则下列不等式：①a＋b|b|；③；④b>a，正确的有________‎ ‎【答案】ƒ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出b＜a＜0，根据不等式的性质分别判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，‎ ‎∴a+b＜ab，①正确；|a|＜|b|，②错误；＞2，③正确；④错误；‎ 故答案为：ƒ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．‎ ‎14．若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到对任意恒成立；分别讨论，和两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的定义域为一切实数，‎ 所以对任意恒成立；‎ 当时，不等式可化为，显然恒成立；‎ 当时，由不等式恒成立，可得，‎ 解得：；‎ 综上，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数定义域求参数，灵活运用转化与化归思想，熟记一元二次不等式恒成立问题的求解方法即可，属于常考题型.‎ ‎15．已知.若时，的最大值为2，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出，再由已知得到和可行域，利用线性规划得到，再利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以，可行域为一个平行四边形及其内部，‎ 由直线斜率小于零知直线过点取最大值，即，‎ 因此，当且仅当 时取等号.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查向量的坐标运算和线性规划，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是由已知得到，其二是化简，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；‎ ‎②设为简单命题，则“”为假是“”为假的必要而不充分条件；‎ ‎③函数的极小值为，极大值为；‎ ‎④双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是．‎ ‎⑤等差数列中首项为，则数列为等比数列；‎ 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】②③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定的写法可知①错误，根据复合命题的真值表可判断②正确与否，利用导数讨论单调性后可判断③正确与否，已知双曲线的渐近线方程，则双曲线的离心率有两种，故④错，利用等比数列的定义可判断⑤正确与否.‎ ‎【详解】‎ 命题“所有的正方形都是矩形”的否定为“存在正方形，它不是矩形”，故①错；‎ 若“”为假，则假且假，故“”为假，‎ 当，一真一假时，有“”为假，但“”为真，‎ 所以 “”为假是“”为假的必要而不充分条件，故②正确；‎ ‎，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 所以极小值为，极大值为，故③正确；‎ 若双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是或，故④错；‎ 因为（为等差数列的公差）为常数，故为等比数列，故⑤正确，‎ 综上，填②③⑤.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断，此类问题具有一定的综合性，往往涉及到高中数学的各个分支，概念清晰，方法明确是正确处理这类问题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）分别求出集合A，B，根据集合的交、并、补集的混合运算计算即可；‎ ‎（2）由题意得，分当时和时两种情况解决即可.‎ 详解：（1）∵，∴，∴，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴.‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎①若，则，∴.‎ ‎②若，则，则.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛：解决集合运算问题的方法 在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．‎ ‎(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．‎ ‎(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．‎ ‎(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．‎ ‎18．已知是方程的实数解集，，，且，，求实数对．‎ ‎【答案】或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得或或，据此结合一元二次方程根与系数的关系分析、的值，总合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，，，‎ 且，，‎ 则或或，‎ 当时，方程有唯一的根4，‎ 则，，‎ 此时实数对为；‎ 当时，方程有唯一的根10，‎ 则，，‎ 此时实数对为；‎ 当时，方程有两根4或10，‎ 则，，‎ 此时实数对为；‎ 综合可得：实数对为或或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的包含关系的应用，关键是分析的元素，属于基础题．‎ ‎19．已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知：2b＝2，，则a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）分类讨论，设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得：，，又，‎ 联立解得，，.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，‎ 把代入椭圆方程，得到方程，‎ 则，，，，‎ 所以的中垂线的方程为，令，得，‎ 当时，，则；‎ 当时，，则，‎ 当斜率不存在时，显然，‎ 当时，的中垂线为轴.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题．‎ ‎20．已知集合，．‎ ‎（1）求集合，；‎ ‎（2）若集合且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先解一元二次不等式得集合A，根据真数大于零得集合B，再结合数轴求集合交、并、补（2）先根据得，再结合数轴列实数a满足条件，解对应不等式可得的取值范围．注意讨论集合B为空集的情况 试题解析：（1），即，解得或，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，．　‎ ‎（2）∵，∴，．‎ ‎①当时，，即时满足，∴；‎ ‎②当时，要使，‎ 则即得．‎ 综上所述，．‎ ‎21．（本题满分10分）命题；命题：解集非空．若假，假，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得为真命题，，为真命题只需，即，解得或者，又假，假，所以为真命题，为假命题，取为真命题，为假命题时的交集，所以。‎ 试题解析：不妨设为真，要使得不等式恒成立只需 ，‎ 又∵当时，（当且仅当时取“=”）‎ ‎∴‎ 不妨设为真，要使得不等式有解只需，即 解得或者 ‎∵假，且“”为假命题, 故 真假 ‎ 所以 ∴实数的取值范围为 ‎ 考点：1．逻辑关系；2．交集的运算。‎ ‎22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.‎ ‎（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；‎ ‎（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；‎ ‎（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；‎ ‎（2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；‎ ‎（3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.‎ 点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；‎ ‎（2）点是点的“上位点”，，.‎ ‎，‎ 点是点的“下位点”，‎ ‎，‎ 点是点的“上位点”；‎ ‎（3）若正整数满足条件：在时恒成立.‎ 由（2）中的结论可知，，时满足条件.‎ 若，由于，‎ 则不成立.‎ 因此，的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是新定义“上位点”和“下位点”，同时也考查了利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键就是对题中新定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎