2020届二轮复习函数的最值与值域（理）学案（全国通用）

2020届二轮复习函数的最值与值域（理）学案（全国通用）

函数的最值与值域 ‎【考纲要求】‎ ‎1. 会求一些简单函数的定义域和值域；‎ ‎2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；‎ ‎3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．‎ ‎4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.‎ ‎【知识网络】‎ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值 ‎【考点梳理】‎ 考点一、函数最值的定义 ‎1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值．‎ 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．‎ 如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值．‎ ‎2.最小值的定义同学们自己给出．‎ 考点二、函数最值的常用求法 ‎1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．‎ ‎2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值．‎ ‎3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．‎ ‎4.不等式法：利用均值不等式求最值．‎ ‎5.利用函数的性质求函数的最值 ‎6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 ‎7.利用导数求函数的最值。‎ 要点诠释：‎ ‎(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；‎ ‎(2)一些能转化为最值问题的问题:‎ 在区间D上恒成立函数 在区间D上恒成立函数 在区间D上存在实数使函数 在区间D上存在实数使函数 ‎【典型例题】‎ 类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数的最值．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数．‎ ‎【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求函数的值域．‎ ‎【解析】平方再开方，得 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域：‎ ‎(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；‎ ‎(2)y=x2-2x+3；　 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].‎ ‎【解析】(1)2个单位，‎ 再上移2个单位得到，如图 ‎1)f(x)在[5，10]上单增，；‎ ‎2)；‎ ‎(2)画出草图 ‎1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；‎ ‎2).‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知函数.‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.‎ ‎【解析】(1)‎ 上单调递增，在上单调递增；‎ ‎(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ‎∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2‎ x=3时f(x)有最大值 ‎∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.‎ 类型三、含参类函数的最值与值域问题 例3（2017 北京高考）设函数.‎ ‎ ①若，则的最大值为______________；‎ ‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】如图先作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，‎ ‎①当时，，因此的最大值是；‎ ‎②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．‎ ‎.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】（2014 甘肃一模）若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数，在上为减函数 当时，的最小值为;‎ 又，当且仅当时等号成立 所以函数在区间上为增函数 可得时，的最大值为.‎ 因为不等式在上恒成立 所以即可得的取值范围是.‎ 类型四、抽象函数的最值与值域问题 例4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设函数则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵， ‎ ‎∴.‎ 类型五：解析几何在最值方面的综合应用 例5．设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）‎ A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12}‎ ‎【解析】当t≠0时，直线AD的方程为，‎ 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点，。‎ 同理直线BC的方程为分别与直线y=1，y=2，y3交于点 ‎，，。‎ 此时当时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，‎ 故此时N（t）=12；‎ 当时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，‎ 而直线y=3在平行四边形ABCD内部的线段上只有3个整点，‎ 此时N（t）=11。‎ 同理可得当时，N（t）=12；‎ 当时，N（t）=11。‎ 综上得 ，其中k∈Z）。‎ 故选C。‎ ‎【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD为正方形，不含边界的整点个数为9个。‎ ‎【变式2】设直线x=t与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D 如图，，令，‎ ‎∵，∴易知时，；‎ 时，。‎ 于是可判断当时，|MN|取得小值。‎