高中数学人教a版必修4课时达标检测（十四） 三角函数模型的简单应用 word版含解析

高中数学人教a版必修4课时达标检测（十四） 三角函数模型的简单应用 word版含解析

课时达标检测（十四） 三角函数模型的简单应用 一、选择题 1．电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式为 I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流 I变化的周 期是( ) A. 1 50 B．50 C. 1 100 D．100 答案：A 2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O的距离 s(cm)和 时间 t(s)的函数关系式为 s＝6sin 2πt＋π 6 ，那么单摆来回摆动一次所需的 时间为( ) A．2π s B．π s C．0.5π s D．1 s 答案：D 3．如图为一半径为 3米的水轮，水轮圆心 O距离水面 2米，已知水轮每分钟旋转 4 圈， 水轮上的点 P到水面的距离 y(米)与时间 x(秒)满足函数关系 y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( ) A．ω＝2π 15 ，A＝3 B．ω＝15 2π ，A＝3 C．ω＝2π 15 ，A＝5 D．ω＝15 2π ，A＝5 答案：A 4．动点 A(x，y)在圆 x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周．已 知时间 t＝0时，点 A的坐标是 1 2 ， 3 2 ，则当 0≤t≤12时，动点 A的纵坐标 y关于 t(单位：s) 的函数的单调递增区间是( ) A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12] 答案：D 5.如图，设点 A是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按 逆时针方向旋转一周，点 P所旋转过的 A P 的长为 l，弦 AP的长为 d， 则函数 d＝f(l)的图象大致是( ) 答案：C 二、填空题 6．直线 y＝a与曲线 y＝sin x＋π 3 在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是 ________． 答案： －1， 3 2 ∪ 3 2 ，1 7．一根长 a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的 位移 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式是 s＝3cos g a t＋π 3 ，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期 为________s. 答案： 2π· a g 8．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在 7千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 的模型波动(x为月份)，已知 3月份达到最高价 9千元，9月份 价格最低为 5千元．根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2sinπ 6 x＋7 三、解答题 9．如图所示，某市拟在长为 8 km 的道路 OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部 分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高 点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°. 求 A，ω的值和M，P两点间的距离． 解：依题意，有 A＝2 3，T 4 ＝3，即 T＝12. 又 T＝2π ω ，∴ω＝π 6 . ∴y＝2 3sinπ 6 x，x∈[0,4]． ∴当 x＝4时，y＝2 3sin2π 3 ＝3. ∴M(4,3)． 又 P(8,0)， ∴MP＝ 8－42＋0－32 ＝ 42＋32＝5(km)． 即M，P两点间的距离为 5 km. 10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距 12 h，低潮时水的深度为 8.4 m，高潮时为 16 m，一次高潮发生在 10 月 10 日 4：00.每天涨潮落潮时，水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满 足关系式 d＝Asin(ωt＋φ)＋h. (1)若从 10月 10日 0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深 d(m) 和时间 t(h)之间的函数关系． (2)10月 10日 17：00该港口水深约为多少？(精确到 0.1 m) (3)10月 10日这一天该港口共有多长时间水深低于 10.3 m? 解：(1)依题意知 T＝2π ω ＝12， 故ω＝π 6 ，h＝8.4＋16 2 ＝12.2， A＝16－12.2＝3.8， 所以 d＝3.8sin π 6 t＋φ ＋12.2. 又因为 t＝4时，d＝16，所以 sin 4π 6 ＋φ ＝1， 所以φ＝－ π 6 ，所以 d＝3.8sin π 6 t－π 6 ＋12.2. (2)t＝17时，d＝3.8sin 17π 6 － π 6 ＋12.2 ＝3.8sin2π 3 ＋12.2≈15.5(m)． (3)令 3.8sin π 6 t－π 6 ＋12.2＜10.3， 有 sin π 6 t－π 6 ＜－ 1 2 ， 因此 2kπ＋7π 6 ＜ π 6 t－π 6 ＜2kπ＋11π 6 (k∈Z)， 所以 2kπ＋4π 3 ＜ π 6 t＜2kπ＋2π，k∈Z， 所以 12k＋8＜t＜12k＋12. 令 k＝0，得 t∈(8,12)； 令 k＝1，得 t∈(20,24)． 故这一天共有 8 h水深低于 10.3 m.