函数的概念学案
1.2.1 函数的概念
1．函数的定义
(1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．
B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x) (x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x) (x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)对函数概念的理解需注意以下几点：
①A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．
②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y＝x2＋1可称为实数集到实数集的函数．
③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了．
④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)＝x2－2x＋3.当x＝2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x－1)＝(2x－1)2－2(2x－1)＋3，f[g(x)]＝[g(x)]2－2g(x)＋3等，f(a.
)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量．
⑤ 对应关系：A中的任一个元素，B中都有唯一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不唯一，也可以没有．
2．两个函数相等
只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．
例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数．
3．区间的概念
函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：
设a，b是两个实数，而且a
a，x≤a，x0，
∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k2<0，此时5k2<0，无解．
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综上，k＝0时函数y＝的定义域为R.
高考对本节知识的考查，一是求一些简单函数的定义域；二是考查对函数定义的理解．常以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．
1．(全国Ⅰ高考)函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
解析 要使函数有意义，需
解得
∴函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}．
答案 C
2．(浙江高考)函数y＝(x∈R)的值域是________．
解析 y＝＝1－，由x2＋1≥1，得0<≤1
∴－1≤－<0，∴0≤1－<1，即0≤y<1，
∴值域为[0,1)．
答案 [0,1)
1．下列说法中不正确的是( )
A．函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定
D．若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素
答案 B
解析 函数的定义域和值域可能是有限集，也可能是无限集，但不能是空集，故选B.
2．下列图象中不能作为函数图象的是( )
答案 B
解析 B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B.
3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
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A．y＝x－1和y＝ B．y＝x和y＝
C．y＝x2和y＝(x＋1)2 D．y＝和y＝
答案 D
解析 A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应关系不同，故选D.
4．下列函数中，定义域不是R的是( )
A．y＝kx＋b B．y＝
C．y＝x2－c D．y＝
答案 B
解析 选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立．
5．下列对应为A到B的函数的是( )
A．A=R，B，f:x→y=|x|
B．A=Z,B=N,f:x→y=x
C.A=Z,B=Z,f:x→y=
A=,B=, f:x→y=0
答案 D
解析 A、B不满足存在性，C不满足任意性．
6．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是( )
A．[－4,4] B．[－2,2]
C．[－4，－2] D．[2,4]
答案 B
解析 由，可得－2≤x≤2.
7．已知f(x)＝ (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2.
(1)求f(2)与g(a.
)；
(2)求g[f(2)]和f[g(x)]．
解 (1)f(2)＝＝，g(a)＝a2＋2；
(2)f(2)＝，g[f(2)]＝2＋2＝，
f[g(x)]＝f(x2＋2)＝＝.
8．已知f(x)的定义域为(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a) (a≤0)的定义域．
解 由已知得 即(a≤0)
用数轴法，讨论(1)当a＝0时，x∈(0,1]；
(2)当a≤－时，x∈∅，即函数不存在；
(3)当－a，x≤b，x0}，B＝{1}，f(x)＝x0
答案 B
解析 在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它的对应的数．
3．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 B
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解析 ∵f(2)＝＝，f＝＝－
∴＝－1
4．函数y＝的定义域是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由，得x>0且x≠1.
5．给出四个命题：
①函数就是定义域到值域的对应关系；
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；
③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；
④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．
以上命题正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 D
二、填空题
6．将集合{x|x＝1或2≤x≤8}表示成区间为____________．
答案 {1}∪[2,8]
7．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 2或
8．函数y＝x2－x (－1≤x≤4，x∈Z)的值域为________．
答案 {0,2,6,12}
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)y＝＋.
解 (1)要使函数有意义，需满足
，即，在数轴上标出，如图，
即x<－3或－3
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