2018届二轮复习专题24三角函数的图像和性质的“磨合”学案（全国通用）

2018届二轮复习专题24三角函数的图像和性质的“磨合”学案（全国通用）

专题24 三角函数的图像和性质的“磨合”‎ 考纲要求:‎ ‎1．能画出y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎3.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．‎ ‎4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．“五点法”作图原理 在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、、(π，0)、、(2π，0).‎ ‎2．三角函数的图像和性质 ‎　函数 性质　‎ y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 ‎{x|x≠kπ＋(k∈Z)}‎ 图像 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；‎ 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)　‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；‎ 对称中心：‎ 周期 ‎2π ‎2π　‎ π 单调性 增区间 ‎；‎ 减区间 增区间 减区间 增区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数_‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝　‎ f＝‎ ‎＝‎ ‎4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤如下 应用举例:‎ 类型一、求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【例1】【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第一次适应性测试】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（ ）‎ A. （） B. （）‎ C. （） D. （）‎ ‎【答案】A ‎【例2】函数的部分图象如图所示，若将图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图像得， ，所以 ‎，横坐标缩短为原来一半，得到.‎ 类型二、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的平移变换 ‎【例3】【黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三第二次月考】将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是 （　　）‎ A. （，0） B. （，0） C. （，0） D. （，0）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，向右平移个单位，得到，选D.‎ ‎【例4】【2017北京市高三入学定位考试】函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，则φ＝________．‎ ‎【答案】 类型三、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性 ‎【例5】【2017山西太原高三调研】已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x)的图象(　　)‎ A．关于直线x＝对称　　 　 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于点对称 ‎【答案】B ‎【解析】∵f(x)＝sin的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin.当x＝时，2x＋＝，∴A，C错误；当x＝时，2x＋＝，∴B正确，D错误．‎ ‎【例6】【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】函数f(x)＝sin(2x＋φ)（）的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－　　　　 　B.－ C. D. ‎【答案】A 类型四、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 ‎【例7】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】当时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f (　　) ‎ A．是奇函数且图象关于点对称 B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 解析：∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．∴f(x)＝sin＝sin.∴y＝f ＝sin(－x)＝－sin x.∴y＝f 是奇函数，且图象关于直线对称．‎ ‎【例8】【2017浙江省宁波市高三入学考试】如图是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间 上的图像，将该图像向右平移m(m＞0)个单位后，所得图像关于直线x＝对称，则m的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B 类型五、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的值域与最值问题 ‎【例9】【吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟考试】已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因，‎ 故，因，故，‎ 则，所以，应选答案B。‎ ‎【例10】【2017河北省邢台一模】先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)‎ A. B. C. D．[－1,0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意得g(x)＝sin＝sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，此时g(x)的值域是.‎ 类型六、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调性问题 ‎【例11】【福建省闽侯第一中学2018届高三上学期开学考试】函数，的图象与的图象的对称轴相同，则的一个增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【例12】【2017山东莱芜高三阶段测试】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值； (2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．‎ ‎【答案】φ＝.；，k∈Z.‎ ‎【解析】∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，‎ 由已知上式对∀x∈R都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.‎ ‎(2) f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.‎ 又∵0<φ<，∴<＋φ<π.∴＋φ＝，φ＝. ∴f(x)＝sin.‎ ‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、两种图像变换的区别 由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．‎ ‎2、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；‎ ‎(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；‎ ‎(3)求φ：常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ 实战演练:‎ ‎1．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合函数单调区间，正弦函数的性质-：单调性和最值．注意对三角函数基础知识的理解和灵活运用．‎ ‎2．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数为偶函数，其图像与直线相邻的两个交点的横坐标分别为且则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由为偶函数得出，落在轴上，,由图象与直线相邻的两个交点的横坐标分别为且得，周期为，所以，故选A.‎ ‎3．【2017届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试】已知函数的一个零点是， 是的图像的一条对称轴，则取最小值时， ‎ 的单调增区间是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知函数，且对于任意的， .则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5．【吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟考试】已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解析：因，故，因，故，则，所以，应选答案B。‎ ‎6．【北京市朝阳区2017届高三二模数学】已知函数的最小正周期为，则 A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D. 函数在区间上单调递增 ‎【答案】C ‎ 7．【河北省2017届衡水中学押题卷】已知函数（）的最小正周期为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知： 由最小正周期为2可得又代入可得： ，， ，则 ‎8．【广东省湛江市2017届高三下学期第二次模拟考试】已知函数（， ）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 9．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查】函数的最小正周期为为图像的对称轴，则在区间上的最大值与最小值的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ‎ ， ，‎ 因此 ，‎ 当 时， ，即最大值与最小值的和为，选D.‎ ‎10．已知函数= ()(A>0， >0， 0< < )， 的图象如图所示，则f（2016）的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎