【数学】2021届一轮复习人教A版任意角弧度制及任意角的三角函数学案
2021届一轮复习人教A版 任意角弧度制及任意角的三角函数 学案
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z。
2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝。
(3)角度与弧度的换算
①1°＝rad；②1 rad＝°。
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2。
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)。
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。
1．区分两个概念
(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。
2．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝，cosα＝，tanα＝。
一、走进教材
1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。
答案 － 二
2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。
解析 由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－，cosθ＝，所以2cosθ－sinθ＝2×－＝。
答案
3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度。
答案
二、走近高考
4．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα
0，所以P
所在的圆弧是。故选C。
答案 C
三、走出误区
微提醒：①终边相同的角理解出错；②三角函数符号记忆不准；③求三角函数值不考虑终边所在象限。
5．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确。故选C。
答案 C
6．若sinα<0，且tanα>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角。故选C。
答案 C
7．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα<0，则tanα＝________。
解析
如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝＝＝－1。
答案 －1
考点一象限角及终边相同的角的表示
【例1】 (1)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________。
解析 (1)因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<＋2kπ(k∈Z)，故＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第二象限角；当k＝2n＋1时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第四象限角，又＝－cos，即cos<0，因此是第二象限角。
(2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°。
答案 (1)B (2)150°
1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角。
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。
【变式训练】 (1)设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________。
解析 (1)由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N。故选B。
解析：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M
⊆N。故选B。
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为。
答案 (1)B (2)
考点二弧度制及其应用
【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l。若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积。
解 由已知得α＝，R＝10，所以S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)。
【互动探究】 (1)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积。
(2)若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 (1)l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝··10－·102·
＝(cm2)
(2)由已知得，l＋2R＝20。
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad。
应用弧度制解决问题的方法
1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度。
2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决。
3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形。
【变式训练】 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________。
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以其圆心角的弧度数是＝。
答案
考点三三角函数的定义及应用微点小专题
方向1：三角函数的定义
【例3】 (1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为( )
A． B．
C． D．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________。
解析 (1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα＋cosα＝＋＝。故选D。
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。γ＝，所以sinα＝－。所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－。
答案 (1)D (2)－
三角函数定义主要应用于两方面
1．已知角的终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离，然后用三角函数定义求解三角函数值。特别地，若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
2．已知角α的某个三角函数值，可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题。
方向2：三角函数值的符号
【例4】 (1)使lg(sinθ·cosθ)＋有意义的θ为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________。
解析 (1)由题意知sinθ·cosθ>0且－cosθ≥0，由sinθ·cosθ>0，知θ为第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即cosθ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的非正半轴上，所以可知θ为第三象限角。故选C。
(2)因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限。当角
α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0。所以＋＝0。
答案 (1)C (2)0
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号。如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解。
方向3：三角函数线的应用
【例5】 函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为________________。
解析 要使原函数有意义，必须有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为。
答案
三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解。
【题点对应练】
1．(方向1)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上的一点，则tan的值为( )
A．3 B．
C．－ D．－3
解析 因为P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上的一点，所以tanα＝－2。所以tan＝＝＝－。故选C。
答案 C
2．(方向2)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由题意知tanα<0，cosα<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限。故选B。
答案 B
3．(方向3)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是( )
A．sinαOM>MP，故有sinα0，若myA－2yB的最大值为3，则m＝________。
解析 设∠xOA＝α，由三角函数的定义，得yA＝sinα，yB＝sin，则myA－2yB＝msinα－2sin＝(m－1)sinα－cosα，其最大值为＝3，又m>0，所以m＝＋1。
答案 ＋1
