2020届二轮复习（理）第3讲分类与整合的思想学案

2020届二轮复习（理）第3讲分类与整合的思想学案

第3讲　分类与整合的思想 ‎「思想方法解读」　　分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳．‎ 常见的分类整合问题有以下几种：(1)由概念引起的分类整合；(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；(3)由数学运算引起的分类整合；(4)由图形的不确定性引起的分类整合；(5)由参数的变化引起的分类整合.‎ 热点题型探究 热点1 公式、定理的分类整合法 例1　(1)(2019·开封市高三第三次模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，且x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且∀x∈，|f(x)|<1，则ω的最大值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 答案　C 解析　因为x＝－为f(x)的零点，‎ 所以－ω＋φ＝k1π(k1∈Z)，①‎ 因为x＝为y＝f(x)图象的对称轴，‎ 所以ω＋φ＝k2π＋(k2∈Z)，②‎ ‎①＋②，得2φ＝(k1＋k2)π＋，得 φ＝＋，‎ 因为|φ|≤，得φ＝±.‎ ‎②－①，得ω＝(k2－k1)π＋，‎ 所以ω＝2(k2－k1)＋1＝2n＋1(n∈Z)．‎ 当ω＝5时，如果f(x)＝sin，‎ 令5x＋＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，‎ 当k＝2时，x＝∈，与已知不符．‎ 如果f(x)＝sin，‎ 令5x－＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，‎ 当k＝1时，x＝∈，与已知不符．‎ 当ω＝3时，如果f(x)＝sin，‎ 令3x＋＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，‎ 当k＝1时，x＝∈，与已知不符．‎ 如果f(x)＝sin，‎ 令3x－＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋(k∈Z)∉，与已知相符．故选C.‎ ‎(2)(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝log2(x＋a)．若对于任意x∈[0,1]，都有f≥1－log23，则实数t的取值范围为________．‎ 答案　[0,3]‎ 解析　由题意，f(x)为周期为4的函数，且是奇函数.0在函数定义域内，故f(0)＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，‎ f(x)＝log2(x＋1)，当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，此时f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，又f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，‎ 所以f(x)以x＝1为对称轴，且当x∈[－1,1]时，f(x)单调递增；当x∈[1,3]时，f(x)单调递减．‎ 易知当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(x－1)．‎ 当x∈[－1,3]时，令f(x)＝1－log23，得x＝－或x＝，所以在[－1,3]内，当f ‎(x)≥1－log23时，x∈.‎ 设g(x)＝－x2＋tx＋，若对于x∈[0,1]都有 f≥1－log23，‎ 因为g(0)＝∈.‎ 故g(x)∈.①当＜0时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)∈⊆，得t≥0，无解．‎ ‎②当0≤t≤1，即0≤≤时，此时g最大，g(1)最小，即g(x)∈⊆.解得t∈[0,1]．‎ ‎③当1＜t≤2，即＜≤1时，此时g(0)最小，g最大，即g(x)∈⊆.解得t∈(1,2]．‎ ‎④当t＞2时，即>1，故g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)∈⊆.解得t∈(2,3]．综上，t∈[0,3]．‎ ‎(3)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1.则数列{an}的通项公式是________．‎ 答案　an＝ 解析　①当n＝1时，由已知可得a1＝2a2，即a2＝a1＝.‎ ‎②当n≥2时，由已知Sn＝2an＋1(n∈N*)，可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＝2an＋1－2an⇒2an＋1＝3an，即＝，所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，故当n≥2，n∈N*时有an＝·n－2.‎ 所以an＝ 解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．‎ 第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．‎ 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．‎ 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．‎ ‎1．(2019·新疆维吾尔族自治区检测)已知x∈R，sinx－3cosx＝，则tan2x＝(　　)‎ A. B． C．－ D．－ 答案　A 解析　由sinx－3cosx＝及sin2x＋cos2x＝1，得(＋3cosx)2＋cos2x＝1.即5cos2x＋3cosx＋2＝0，cosx＝－或cosx＝－，所以当cosx＝－时，sinx＝－，tanx＝，tan2x＝＝；当cosx＝－时，sinx＝，tanx＝－2，tan2x＝＝.所以tan2x＝，故选A.‎ ‎2．(2019·云南高三第一次统考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC＝，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝2，则△ABC的面积的最小值为(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　设A＝α，则0<α<，C＝π－－α＝－α，‎ ‎∵∠ABC＝，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝2，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD＝.在△ABD中，∠ADB＝π－－α＝－α，由正弦定理可得 eq f(AB,sinlc( c)(avs4alco1(f(2π,3)－α)))＝，∴AB＝＝.在△CBD中，∠CDB＝＋α，由正弦定理可得＝，‎ ‎∴BC＝.‎ ‎∴△ABC的面积S＝AB·BC·sin ‎＝×× ‎＝· ‎＝· ‎＝ ‎＝2＋，∵0<α<，∴<2α＋<，∴0时，－＜0，只需目标函数截距最大．‎ ‎①若－＜－<0，即a>2，最优解为A，z＝＋a＝，a＝3，符合题意；‎ ‎②若－＜－，即00，只需目标函数截距最小．‎ ‎③若0<－<，即a<－2，最优解为C(－2，－2)，‎ z＝－2－2a＝，a＝－，符合题意；‎ ‎④若<－<1，即－21，即－10得t2<12，又t≠0，∴xB＝3－∈(－3，3)．综上，点B的横坐标的取值范围为(－3，3]．‎ 热点3 含参数问题的分类整合法 例3　(2019·石家庄市第二中学高三模拟)函数f(x)＝·ex－ax－(a为常数)的图象与x轴有唯一公共点M.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若a＝－2，存在不相等的实数x1，x2，满足f(x1)＝－f(x2)，证明：x1＋x2<0.‎ 解　(1)函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，由题意可知，曲线f(x)与x轴存在公共点M(0,0)，又f′(x)＝ex－1－a，‎ 若a≤0，则f′(x)>0，f(x)单调递增；‎ 若a>0，由f′(x)＝0得x＝1＋ln a，‎ 当x∈(－∞，1＋ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(1＋ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ ‎①当1＋ln a＝0，即a＝时，f(x)的极小值为f(0)＝0，‎ 曲线f(x)与x轴只有一个公共点，符合题意；‎ ‎②当1＋ln a>0，即a>时，由基本结论“x>0时，ex>x2”，a＋2>a>1＋ln a.‎ 知f(a＋2)＝ea＋1－a(a＋2)－>(a＋1)2－a2－2a－1＝0，‎ 又f(1＋ln a)m＝1>0，‎ 即1＋ln a>－，f＝e－－＝e>0.又f(1＋ln a)0)．‎ ‎(1)设F(x)＝，讨论函数F(x)的单调性；‎ ‎(2)若0g(x)在(0，＋∞)上恒成立．‎ 解　(1)F(x)＝＝，‎ F′(x)＝＝.‎ ‎①若a＝，F′(x)＝≤0，∴F(x)在R上单调递减．‎ ‎②若a>，则>0，当x<0或x>时，F′(x)<0，当00，∴F(x)在(－∞，0)，上单调递减，在上单调递增．‎ ‎③若00时，F′(x)<0，当0.∴F(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增．‎ ‎(2)证明：∵00恒成立．∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 又∵h′(0)＝0，∴x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，‎ ‎∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，‎ ‎∴ex－x2－x－1>0，ex>x2＋x＋1，∴ex>x2＋x＋1≥ax2＋x＋1，∴f(x)>g(x)在(0，＋∞)上恒成立．‎ ‎ ‎