2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（江苏卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（江苏卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）‎ 数学Ⅰ 注意事项： ‎ 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.‎ ‎4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ 1. 函数的最小正周期为 ▲ .‎ 解析：‎ 2. 设(i为虚数单位)，则复数的模为 ▲ .‎ 解析：‎ 3. 双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ .‎ 解析：‎ Y N 输出n 开始 结束 ‎（第5题）‎ 4. 集合共有 ▲ 个子集.‎ 解析：（个）‎ 5. 右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲ ‎ 解析：经过了两次循环，n值变为3‎ 12‎ 1. 抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .‎ 解析：易知均值都是90，乙方差较小，‎ 2. 现有某类病毒记作，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为 ▲ .‎ 解析：‎ 可以取的值有：共个 可以取的值有：共个 所以总共有种可能 符合题意的可以取共个 符合题意的可以取共个 所以总共有种可能符合题意 所以符合题意的概率为 3. 如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ▲ .‎ 解析：‎ 所以 12‎ 1. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界).若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ▲ .‎ 解析：‎ 易知切线方程为： ‎ 所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 易知过C点时有最小值，过B点时有最大值0.5‎ 2. 设分别是的边上的点，,,若(为实数)，则的值为 ▲ .‎ 解析：‎ 易知 所以 3. 已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为 ▲ .‎ 解析：‎ 因为是定义在上的奇函数，所以易知时，‎ 解不等式得到的解集用区间表示为 4. 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为 ▲ .‎ 解析：‎ 由题意知 所以有 两边平方得到，即 两边同除以得到，解得，即 12‎ 1. 平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ▲ .‎ 解析：‎ 由题意设 则有 令 则 ‎ 对称轴 ‎ 1.时，‎ ‎ ， （舍去）‎ ‎ 2.时，‎ ‎ ， （舍去）‎ ‎ 综上或 12‎ 1. 在正项等比数列中，，.则满足的最大正整数的值为 ▲ .‎ ‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又时符合题意，所以的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 已知，，.‎ ‎(1) 若，求证：；‎ ‎(2) 设，若，求，的值.‎ 解：(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 12‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，,. 过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点.‎ 求证：(1) 平面平面;‎ ‎(2) .‎ 解：(1)分别是侧棱的中点 ‎ ‎ ‎ 在平面中，在平面外 ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ 为中点 12‎ ‎ ‎ ‎ 在平面中，在平面外 ‎ 平面 ‎ 与相交于 ‎ 在平面中 ‎ 平面平面 ‎ ‎ (2) 平面平面 ‎ 为交线 ‎ 在中，‎ ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 与相交于 ‎ 在平面中 ‎ 平面 ‎ ‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.‎ ‎(1) 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎(2) 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ 解：（1） ‎ ‎ ①与②联立得到圆心坐标 ‎ 圆方程为 ‎ 切线斜率不存在时，不合题意 ‎ 设切线方程为 12‎ ‎ ‎ ‎ 解得或 ‎ 切线方程为或 ‎（2）设 ‎ 则圆方程为 ‎ 设 ‎ 由题意 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 存在 ‎ 圆与圆有交点 ‎ 即两圆相交或相切 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径. 一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.‎ 现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，，.‎ ‎(1) 求索道的长；‎ ‎(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3) 为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 12‎ 解：(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ 设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处 ‎ 则有 ‎ ‎ 根据余弦定理 ‎ 即 ‎ 当时，有最小值 ‎ ‎ (3) 设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为 ‎ 由题意 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解不等式得 ‎19. （本小题满分16分）‎ 12‎ 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，，其中为实数.‎ ‎(1) 若，且，，成等比数列，证明：；‎ ‎(2) 若是等差数列，证明：.‎ 解：‎ ‎ （1）‎ ‎ ‎ ‎ 时，‎ ‎ ‎ ‎ 成等比 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ 由已知 ‎ 是等差数列 12‎ ‎ 设（k,b为常数）‎ ‎ 有对任意恒成立 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 此时 ‎ ‎ 命题得证 ‎20. （本小题满分16分）‎ 设函数，，其中为实数.‎ ‎(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；‎ ‎(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意：对恒成立 ‎ 即对恒成立 ‎ ‎ ‎ 在上有最小值 ‎ 时，恒成立，在无最值 ‎ 时，由题意 ‎ ‎ 12‎ ‎ 综上：的范围是：‎ ‎ （2）在上是单调增函数 ‎ 对恒成立 ‎ 即对恒成立 ‎ ‎ ‎ 令，则 ‎ 则有的零点个数即为与图像交点的个数 ‎ 令 ‎ 则 ‎ 易知在上单调递增，在上单调递减 ‎ 在时取到最大值 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 图像如下 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以由图可知：时，有1个零点 ‎ 时，有2个零点 ‎ 时，有1个零点 ‎ 综上所述：或时，有1个零点 ‎ 时，有2个零点 。‎ ‎ ‎ 12‎ 12‎