【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第一章　第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第一章　第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、知识梳理 ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．‎ ‎(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断 p q p∧q p∨q ‎﹁p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称命题和特称命题 ‎(1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎(2)全称命题和特称命题 ‎　　名称 形式　　‎ 全称命题 特称命题 结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ 否定 ‎∃x0∈M，﹁p(x0)‎ ‎∀x∈M，﹁p(x)‎ 常用结论 ‎1．含逻辑联结词命题真假的判断 ‎(1)p∧q中一假则假，全真才真．‎ ‎(2)p∨q中一真则真，全假才假．‎ ‎(3)p与﹁p真假性相反．‎ ‎2．全称命题与特称命题的否定 ‎(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．‎ ‎(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ 二、习题改编 ‎1．(选修11P26A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)‎ A．∃x0∈R，x＋x0≤0　　 B．∃x0∈R，x＋x0<0‎ C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0‎ 解析：选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.‎ ‎2．(选修11P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．故选B.‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．(　　)‎ ‎(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)‎ ‎(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)‎ ‎(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)全称命题或特称命题的否定出错；‎ ‎(2)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．‎ ‎1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 ．‎ 答案：存在两个全等三角形的面积不相等 ‎2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为 ．‎ 解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．‎ 答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0‎ ‎　　　　　　全称命题、特称命题(多维探究)‎ 角度一　全称命题、特称命题的真假 ‎ 若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(　　)‎ A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)‎ B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)‎ C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)‎ D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)‎ ‎【解析】　由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)是假命题．‎ ‎【答案】　C 全称命题与特称命题的真假判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．‎ ‎(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．‎ 角度二　全称命题、特称命题的否定 ‎ 已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为(　　)‎ A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 ‎【解析】　由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．‎ ‎【答案】　D 全称命题与特称命题的否定 确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．‎ 角度三　与全(特)称命题有关的参数问题 ‎ (2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【解析】　因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－‎ a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.‎ ‎【答案】　(－∞，－1]‎ 将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．‎ ‎1．(2020·甘肃静宁一中三模)下列命题正确的是(　　)‎ A．∃x0∈R，x＋2x0＋3＝0‎ B．x>1是x2>1的充分不必要条件 C．∀x∈N，x3>x2‎ D．若a>b，则a2>b2‎ 解析：选B.对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x0∈R，x＋2x0＋3＝0错误，即A错误；‎ x2>1⇔x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要条件，故B正确；‎ 当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，x3>x2错误，即C错误；‎ 若a＝1，b＝－1，则a>b，但a2＝b2，故D错误．故选B.‎ ‎2．(2020·河南商丘模拟)已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　)‎ A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0‎ B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0‎ C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0‎ D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0‎ 解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0，故选C.‎ ‎　　　　含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)‎ ‎ (2020·河北衡水中学3月大联考)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>x；命题q：“m≤1”是“函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为(　　)‎ A．p∧q B．(﹁p)∧q C．(﹁p)∨q D．p∧(﹁q)‎ ‎【解析】　因为|x＋1|>x，对x∈R成立，故p为真命题；因为函数f(x)＝x2－(m＋1)·x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增，所以≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∨q均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎(1)“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤 ‎①确定命题的构成形式；‎ ‎②判断其中命题p，q的真假；‎ ‎③确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题的真假．‎ ‎(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假；‎ ‎②p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真；‎ ‎③p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假；‎ ‎④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真；‎ ‎⑤﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真．‎ ‎1．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知命题p：∃x∈R，sin x>1，命题q：∀x∈(0，1)，ln x<0，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧(﹁q)‎ C．p∨(﹁q) D．(﹁p)∧q 解析：选D.因为－1≤sin x≤1，故命题p是假命题，易知命题q是真命题，故p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨(﹁q)为假，(﹁p)∧q为真，故选D.‎ ‎2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是(　　)‎ A．p∨(﹁q) B．p∨q C．p∧q D．(﹁p)∧(﹁q)‎ 解析：选B.若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题，故选B.‎ ‎　　　　由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)‎ ‎ 已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【解】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，即－20，‎ 所以m>2或m<－2.由题意知，p，q均为假命题，‎ 所以得0≤m≤2，‎ 所以实数m的取值范围是[0，2]．‎ 答案：[0，2]‎ 根据命题真假求参数的步骤 ‎(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．‎ ‎(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．‎ ‎(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎[注意]　要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．‎ ‎　(2020·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．[1，4]‎ C．(－∞，1] D．[e，4]‎ 解析：选D.命题p等价于ln a≥x对x∈[0，1]恒成立，所以ln a≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知命题p：∃x0>1，x－1>0，那么﹁p是(　　)‎ A．∀x>1，x2－1>0‎ B．∀x>1，x2－1≤0‎ C．∃x0>1，x－1≤0‎ D．∃x0≤1，x－1≤0‎ 解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：∀x>1，x2－1≤0.‎ ‎2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)‎ A．命题p是假命题 B．命题p是特称命题 C．命题p是全称命题 D．命题p既不是全称命题也不是特称命题 解析：选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.‎ ‎3．(2020·吉林第三次调研测试)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，0) B．[0，4]‎ C．[4，＋∞) D．(0，4)‎ 解析：选D.因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0x＋1”，则命题p可写为 ．‎ 解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．‎ 答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1‎ ‎6．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝ ．‎ 解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，‎ 因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，‎ 又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是 ；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是 ．‎ 解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中有一个为真，所以m<；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥；若q为假，则m≥0，所以m≥0.‎ 答案：　.‎ ‎8．设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．若p∧(﹁q)为真命题，求实数a的取值范围．‎ 解：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减⇔00恒成立，则00恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.‎ ‎2．(2020·湖北八校联考)下列说法正确的是(　　)‎ A．“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 B．命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题 C．“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x>0”‎ D．“a＋1>b”是“a>b”的一个充分不必要条件 解析：选B.对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x≥0”，故C不正确；对于D，由a>b可推得a＋1>b，但由a＋1>b不能推出a>b，故D错误．‎ ‎3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为(　　)‎ A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名 C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名 解析：选D.由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r 为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.‎ ‎4．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是 ．‎ 解析：若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[(x－1)2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<1或m>2.‎ 答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)‎