【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第五讲　对数与对数函数

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第五讲　对数与对数函数

第五讲　对数与对数函数 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列说法正确的是(　　)‎ ‎①若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.‎ ‎②对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎③函数y=ln ‎1+x‎1-x与y=ln(1+x) - ln(1 - x)的定义域相同.‎ ‎④对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(‎1‎a, - 1),函数图象只在第一、四象限.‎ A.①③④ B.①③ C.③④ D.④‎ ‎2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y=‎1‎ax,y=loga(x+‎1‎‎2‎)(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)‎ ‎3.[2019全国卷Ⅰ,3,5分][理]已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)‎ A.ab>1.若logab+logba=‎5‎‎2‎,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　. ‎ 考法1 对数式的运算 ‎1(1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分][理]设a=log0.20.3,b=log20.3,则　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a+b0,b<0,所以ab<0,所以ab1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y= - x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;‎ 当01时,如图2 - 5 - 3所示,要使在区间(1,2)上,f 1(x)=(x - 1)2的图象在f 2(x)=‎ logax的图象的下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2 - 1)2≤loga2,所以loga2≥1,解得1b>c B.b>a> c C.c>b>a D.c>a>b 解法一　因为a=log2e>1,b=ln2∈(0,1),c=log‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎=log23>log2e>1,所以c>a>b,故选D.‎ 解法二　log‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图象,如图2 - 5 - 4,由图可知c>a>b.‎ D 命题角度2　解对数不等式 ‎5[2020福建调研]已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f (x)单调递减,则不等式f (log‎1‎‎3‎(2x - 5))>f (log38)的解集为 A.{x|‎5‎‎2‎‎13‎‎2‎}‎ C.{x|‎5‎‎2‎‎13‎‎2‎} D.{x|x<‎5‎‎2‎或‎41‎‎16‎f (log38)化为|log‎1‎‎3‎(2x - 5)|>|log38|,‎ 即log3(2x - 5)>log38或log3(2x - 5)< - log38=log3‎1‎‎8‎,即2x - 5>8或0<2x - 5<‎1‎‎8‎,解得x>‎13‎‎2‎或‎5‎‎2‎0,‎‎00且a≠1,若函数f (x)=loga(ax2 - x)在[3,4]上单调递增,则a的取值范围是　　　. ‎ 给什么 想什么 ‎①f (x)为函数y=logat与t=ax2 - x复合而成的函数.‎ ‎②要使f (x)在[3,4]上单调递增,显然需要考虑内、外层函数的单调性.‎ ‎②要研究外层函数y=logat的单调性,则需要分“a>1”和“01,则y=logat为增函数,因此要使f (x)在[3,4]上单调递增,则需t=ax2 - x在[3,4]上也单调递增,且f (x)有意义,即t=ax2 - x在[3,4]上恒大于0,注意到要使t=ax2 - x满足条件,只需当x=3时t=ax2 - x>0即可.‎ ‎(ii)类比(i)可得到01时,要使f (x)=loga(ax2 - x)在[3,4]上单调递增,则t=ax2 - x在[3,4]上单调递增,且t=ax2 - x>0恒成立,即a>1,‎‎1‎‎2a‎≤3,‎‎9a-3>0,‎解得a>1.‎ 当00恒成立,即‎00,‎此时无解.‎ 综上可知,a的取值范围是(1,+∞).‎ ‎2.(1)[2019天津,6,5分]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(　　)‎ A.a0,‎log‎1‎‎2‎(-x),x<0.‎若f (a)>f ( - a),则实数a的取值范围是(　　)‎ A.( - 1,0)∪(0,1) B.( - ∞, - 1)∪(1,+∞)‎ C.( - 1,0)∪(1,+∞) D.( - ∞, - 1)∪(0,1)‎ 考法4指数函数、对数函数的综合问题 ‎8设点P在曲线y=‎1‎‎2‎ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 - ln 2 B.‎2‎(1 - ln 2) C.1+ln 2 D.‎2‎(1+ln 2)‎ 根据函数y=‎1‎‎2‎ex和函数y=ln(2x)的图象(如图2 - 5 - 5)可知两函数的图象关于直线y=x对称,…………………(y=‎1‎‎2‎ex与y=ln(2x)互为反函数)‎ 故求|PQ|的最小值可转化为求与直线y=x平行且分别与两曲线相切的两条直线间的距离,设与直线y=x平行且与曲线y=‎1‎‎2‎ex相切的直线与曲线y=‎1‎‎2‎ex的切点为A(m,n),则点A到直线y=x的距离的2倍即所求最小值.因为y' =(‎1‎‎2‎ex)' =‎1‎‎2‎ex,则‎1‎‎2‎em=1,‎ 所以m=ln2,所以切点A的坐标为(ln2,1),切点到直线y=x的距离为d=‎|ln2-1|‎‎2‎‎=‎‎1-ln2‎‎2‎,所以2d=‎2‎(1 - ln2).‎ B ‎9已知∀x∈(0,‎1‎‎3‎),8x≤logax+1恒成立,则实数a的取值范围是 A.(0,‎2‎‎3‎) B.(0,‎1‎‎2‎] C.[‎1‎‎3‎,1) D.[‎1‎‎2‎,1)‎ ‎ ∀x∈(0,‎1‎‎3‎),8x≤logax+1恒成立,则当01.结合对数函数y=log5x在(0,+∞)上单调递增可知b=log521,则x=lgklg2‎,y=lgklg3‎,z=lgklg5‎.‎ 因为k>1,所以lgk>0,所以2x - 3y=‎2lgklg2‎‎-‎3lgklg3‎=lgk×(2lg3-3lg2)‎lg2×lg3‎=‎lgk×lg‎9‎‎8‎lg2×lg3‎>0,故2x>3y,‎ ‎2x - 5z=‎2lgklg2‎‎-‎5lgklg5‎=lgk×(2lg5-5lg2)‎lg2×lg5‎=‎lgk×lg‎25‎‎32‎lg2×lg5‎<0,故2x<5z.所以3y<2x<5z.‎ 解法二　(作商法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.‎ 则x=lgklg2‎,y=lgklg3‎,z=lgklg5‎.‎ 所以‎2x‎3y‎=‎‎2‎‎3‎×lg3‎lg2‎‎=‎lg9‎lg8‎>1,即2x>3y,‎ ‎5z‎2x‎=‎‎5‎‎2‎‎×lg2‎lg5‎‎=‎lg‎2‎‎5‎lg‎5‎‎2‎>1,即5z>2x.‎ 所以5z>2x>3y.‎ 解法三　(中间值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,‎ 则x=lgklg2‎,y=lgklg3‎,z=lgklg5‎.‎ 所以3y=lgklg‎3‎‎3‎,2x=lgklg‎2‎,5z=lgklg‎5‎‎5‎.‎ 因为‎3‎‎3‎‎=‎6‎‎9‎>‎6‎‎8‎=‎‎2‎,‎2‎‎=‎10‎‎32‎>‎10‎‎25‎=‎‎5‎‎5‎,‎ 所以lg‎3‎‎3‎>lg‎2‎>lg‎5‎‎5‎>0.‎ 又k>1,所以lgk>0,‎ 所以3y<2x<5z.‎ 解法四　(函数法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,‎ 则x=lnkln2‎,y=lnkln3‎,z=lnkln5‎.‎ 设函数f (t)=tlnklnt(t>0,t≠1),‎ 则f (2)=‎2lnkln2‎=2x,f (3)=‎3lnkln3‎=3y,f (5)=‎5lnkln5‎=5z.‎ f ' (t)=lnk·lnt-‎1‎t·tlnk‎(lnt)‎‎2‎‎=‎‎(lnt-1)lnk‎(lnt)‎‎2‎,‎ 易得当t∈(e,+∞)时,f ' (t)>0,函数f (t)单调递增.‎ 因为e<3<4<5,所以f (3)0,t≠1),将数值的大小比较问题转化为函数单调性问题求解,显然将f (2)转化为f (4)是该解法的关键,否则仍需利用作差法、作商法或借助中间值比较大小.当然,解题时也可直接取一个固定的k值,如在解法一、二、三中可令k=10,在解法四中可令k=e,解题过程将更简单.‎ ‎4.(1)[2019沈阳市第三次质量监测]设a=log2 018‎2019‎,b=log2 019‎2018‎,c=2 01‎8‎‎1‎‎2019‎,则a,b,c的大小关系是(　　)‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a ‎(2)设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则x‎2‎,y‎3‎,z‎5‎的大小关系不可能是(　　)‎ A.x‎2‎‎1,则y=‎1‎ax是减函数,而y=loga(x+‎1‎‎2‎)是增函数且其图象过点(‎1‎‎2‎,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.‎ 解法二　分别取a=‎1‎‎2‎和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.‎ ‎3.B　∵a=log20.2<0,b=20.2>1,c=0.20.3∈(0,1),∴a0,所以ln x3>0,所以x3>1.又ln‎1‎‎2‎0时, - x<0,f ( - x)= - e - ax.因为函数f (x)为奇函数,所以当x>0时,f (x)= - f ( - x)=e - ax,所以f (ln 2)=e - aln 2=(‎1‎‎2‎)a=8,所以a= - 3.‎ ‎6. - 2　解法一　由f (a)=ln(‎1+‎a‎2‎ - a)+1=4,得ln(‎1+‎a‎2‎ - a)=3,所以f ( - a)=ln(‎1+‎a‎2‎+a)+1= - ln‎1‎‎1+‎a‎2‎‎+a+1= - ln(‎1+‎a‎2‎ - a)+1= - 3+1=‎ ‎ - 2.‎ 解法二　因为f (x)=ln(‎1+‎x‎2‎ - x)+1,‎ 所以f (x)+f ( - x)=ln(‎1+‎x‎2‎ - x)+ln(‎1+‎x‎2‎+x)+2=2.‎ 故f (a)+f ( - a)=2,所以f ( - a)=2 - 4= - 2.‎ ‎7.4　2　因为a>b>1,所以logab∈(0,1).因为logab+logba=‎5‎‎2‎,即logab+‎1‎logab‎=‎‎5‎‎2‎,所以logab=‎1‎‎2‎或logab=2(舍去),所以a‎1‎‎2‎=b,即a=b2.所以ab=‎(b‎2‎)‎b=b2b=ba,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.‎ ‎1.C　函数y=2log4(1 - x)的定义域为( - ∞,1),排除A,B;易知函数y=2log4(1 - x)在定义域上单调递减,排除D.选C.‎ ‎2.(1)A　因为a=log520.51=‎1‎‎2‎,故alog0.50.25=2,c=0.50.2<0.50=1,故c0,所以x2 - 4x - 5<0,解得 - 10,‎log‎2‎a> - log‎2‎a或a<0,‎log‎1‎‎2‎( - a)>log‎2‎( - a),‎解得a>1或 - 1‎1‎‎2‎log2 0182 018=‎1‎‎2‎,b=log2 019‎2018‎‎=‎‎1‎‎2‎log2 0192 018<‎1‎‎2‎log2 0192 019=‎1‎‎2‎,所以a>b,‎ 又a=‎1‎‎2‎log2 0182 019<‎1‎‎2‎log2 0182 0182=1,c=2 01‎8‎‎1‎‎2019‎>2 0180=1,所以c>a>b,故选C.‎ ‎(2)B　解法一　取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知x‎2‎‎=y‎3‎=‎z‎5‎,此时选项C成立.‎ 取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知x‎2‎‎0,接下来对k与1的大小关系加以讨论.‎ 若k=1,则x‎2‎=1,y‎3‎=1,z‎5‎=1,所以x‎2‎‎=y‎3‎=‎z‎5‎,所以选项C有可能成立.‎ 若03k - 1>5k - 1,所以z‎5‎‎1,则根据函数f (t)=tk - 1在(0,+∞)上单调递增可得2k - 1<3k - 1<5k - 1,所以x‎2‎‎0,则f (x)单调递增;②若a=0,则 f (x)为常数函数;③若a<0,则f (x)单调递减.‎