2020届二轮复习集合、复数、常用逻辑用语学案（全国通用）
第2讲 集合、复数、常用逻辑用语
集 合
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4
0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以∁UB＝{y|y≤0}，所以A∩(∁UB)＝(－1，0]，故选D．
4．(一题多解)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A．法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤，又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A．
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A．
5．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝＋}，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M＝N D．N∈M
解析：选B．因为集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝＋}＝{0}，所以N⊆M.故选B
6．(一题多解)(2019·安徽省考试试题)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：选B．法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1，故选B．
法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满足A∩B≠∅，因此排除A，C．当a＝1时，满足A∩B≠∅，排除D．故选B．
集合问题的求解策略
(1)连续数集借助数轴，不连续数集借助Venn图．
(2)图形或图象问题用数形结合法．
(3)新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算．
[提醒] 解决集合问题要注意以下几点．
(1)集合元素的互异性．
(2)不能忽略空集．
(3)注意端点的取值，如题3中，A∩(∁UB)中含有元素0.
(4)理解代表元素的意义，如题4为点集，其他各题均为数集．
复 数
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选D．由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
故选D．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
解析：选D．因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i，故选D．
3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D．
解析：选C．法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C．
法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1.故选C．
4．(2019·漳州模拟)已知i是虚数单位，且z＝，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A．z＝＝＝＝＝2－i，则＝2＋i，所以对应的点在第一象限．故选A．
5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C．由已知条件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.
故选C．
6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数
a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是0，故a＝2.
答案：2
复数代数形式的2种运算方法
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
[提醒] (1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化．
(2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．
(3)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
常用逻辑用语
[考法全练]
1．(2019·沈阳市质量监测(一))设命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，则﹁p为( )
A．∃x∈R，x2－x＋1>0
B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∃x∈R，x2－x＋1≤0
D．∀x∈R，x2－x＋1<0
解析：选C．已知原命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定﹁p为∃x∈R，x2－x＋1≤0.
2．(2019·广州市调研测试)下列命题中，为真命题的是( )
A．∃x0∈R，e≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
解析：选D．因为ex>0恒成立，所以选项A错误．取x＝2，则2x＝x2，所以选项B错误．当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时无意义，所以也不可能推出＝－1；当＝－1时，变形得a＝－b，所以a＋b＝0，故a＋b＝0的充分不必要条件是＝－1，故选项C错误．假设
x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这显然与已知x＋y>2矛盾，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．综上，选D．
3．(2019·高考浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．因为a>0，b>0，若a＋b≤4，所以2≤2＋b≤4.
所以ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4.
这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．
综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．
4．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由“x2－5x<0”可得“00在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m> B．00 D．m>1
解析：选C．若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0，故选C．
6．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②﹁p∨q ③p∧﹁q ④﹁p∧﹁q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
解析：选A．通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y
＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A．
优解：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A．
(1)充分条件与必要条件的三种判定方法
定义法
正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)
集合法
利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件
等价法
将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题
(2)全称命题与特称命题真假的判定方法
①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可．
②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
[提醒] 求解简易逻辑问题有以下几个易失分点：
(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念．
(2)命题的否定与否命题是有区别的，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词．
(4)复合命题的真假判断依赖真值表．
一、选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
解析：选A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．
故选A．
2．命题“∀x>0，ln x≥1－”的否定是( )
A．∃x0≤0，ln x0≥1－
B．∃x0≤0，ln x0<1－
C．∃x0>0，ln x0≥1－
D．∃x0>0，ln x0<1－
解析：选D．若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，﹁p(x0)．所以“∀x>0，ln x≥1－”的否定是∃x0>0，ln x0<1－，故选D．
3．(2019·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．
4. (2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )
A．{3} B．{7}
C．{3，7} D．{1，3，5}
解析：选B．由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B．
5．若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为( )
A．－ B．
C．i D．－i
解析：选B．因为＝＝＋i，所以其实部为，虚部为，实部与虚部之积为.故选B．
6．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A．因为(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．
7．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C．因为f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，
所以2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．
所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．
8．下列命题错误的是( )
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析：选C．若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y
≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．
9．(2019·贵阳市第一学期监测)命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x－y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选D．命题p：当x＝0，y＝－2时，x22”．其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．由x＝，得tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则，则，则f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋<2”，所以命题③是错误的．故正确命题的个数为2，故选C．
11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D．
12．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是( )
A． B．(0，1]
C． D．[2，＋∞)
解析：选A．由题意，命题p对应的是菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是，故选A．
二、填空题
13．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．
解析：因为z＝－＝，所以|z|＝.
答案：
14．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；
②命题p：∀x>0，x3>0，那么﹁p：∃x0>0，x≤0；
③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
④△ABC中，若AB>AC，则sin C>sin B．
解析：①是正确的；对于②，命题p：∀x>0，x3>0，﹁p：∃x0>0，x≤0，所以②是正确的；对于③，若x，y同时为0，则x2＋y2＝0，与已知矛盾，故x，y不全为0；③正确；对于④，在△ABC中，大边对大角，所以④正确．
答案：①②③④
15．(一题多解)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．
解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝，该集合中共有3个元素．
法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：
ba
－1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个元素．
答案：3
16．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，
因为y＝2x在[0，1]上单调递增，所以2x≤21＝2，
故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．
若命题q为真，则方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4.
故命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}．
若命题“p∨q”是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题；
由“﹁p∧q”是假命题，可得﹁p与q至少有一个是假命题．
①若p为真命题，则﹁p为假命题，q可真可假，
此时实数a的取值范围为[2，＋∞)；
②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．
综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
