【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版13-2-1绝对值不等式学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版13-2-1绝对值不等式学案

‎§13.2　不等式选讲 第1课时　绝对值不等式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ 本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.‎ ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ 概念方法微思考 ‎1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？‎ 提示　当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．‎ ‎2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？‎ 提示　一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　×　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　√　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　×　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　×　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)‎ A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]‎ C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)‎ 答案　D 解析　由题意得 即 解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．‎ ‎3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．‎ 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；‎ ‎②当11时，(*)式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而10.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 题型二　利用绝对值不等式求最值 例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；‎ ‎(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．‎ 解　(1)∵x，y∈R，‎ ‎∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ 当且仅当0≤x≤1时等号成立，‎ ‎∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ 当且仅当－1≤y≤1时等号成立，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，‎ 当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 ‎(1)利用绝对值的几何意义．‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.‎ ‎(3)利用零点分区间法．‎ 跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．‎ 解　(1)∵≥＝＝4，‎ 当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，‎ ‎∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，‎ 故|2＋x|＋|2－x|≤min.‎ 由(1)可知，的最小值为4，‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．‎ 解不等式得－2≤x≤2，‎ 故实数x的取值范围为[－2,2]．‎ 题型三　绝对值不等式的综合应用 例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝ 当x<－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x>2时，由f(x)≥1，解得x>2，‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x ‎≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|‎ ‎＝－2＋≤，‎ 当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.‎ 故m的取值范围为.‎ 思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．‎ ‎(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．‎ 跟踪训练3 设函数f(x)＝x＋|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2 019时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．‎ 解　(1)由题意得，当a＝2 019时，‎ f(x)＝ 因为f(x)在[2 019，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(x)的值域为[2 019，＋∞)．‎ ‎(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.‎ 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，‎ 所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.‎ 即a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．‎ ‎1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ 解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，‎ 所以|3a－3b|≤3，≤，‎ 所以|4a－3b＋2|＝ ‎≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，‎ 即|4a－3b＋2|的最大值为6，‎ 所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.‎ 即实数m的取值范围为[6，＋∞)．‎ ‎2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，g(x)＝x2－x－a.‎ ‎(1)当a＝5时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3]，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝5时，不等式f(x)≥g(x)等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①‎ 当x<－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；‎ 当x>2时，①式化为x2－x－8≤0，得2x2＋|x－1|－|x＋1|，‎ 由于x2＋|x－1|－|x＋1|＝ 所以当x＝1时，x2＋|x－1|－|x＋1|的最小值为－1.‎ 所以实数a的取值范围为(－1，＋∞)．‎ ‎5．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x＋1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤2；‎ ‎(2)若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝ 原不等式等价于 或或 解得x≤－1或－≤x<2或x≥2，‎ 综上所述，不等式的解集是.‎ ‎(2)∃b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于 ‎(|a＋b|－|a－b|)max≥f(x)max.‎ 因为|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，‎ 所以|a＋b|－|a－b|的最大值为2|a|；‎ 当x≤－时，f(x)≤；‎ 当－.‎ 综上可得不等式f(x)≤x＋2的解集为R.‎ ‎(2)不等式f(x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)等价于≤(|a－2|＋|a＋1|)，‎ 因为＝≤＝3，当且仅当≤0时取等号，‎ 因为≤(|a－2|＋|a＋1|)，‎ 所以|a－2|＋|a＋1|≥6，解得a≤－或a≥，‎ 故实数a的取值范围为∪.‎