2019届二轮复习第十章第57讲　圆锥曲线的综合应用学案（全国通用）

2019届二轮复习第十章第57讲　圆锥曲线的综合应用学案（全国通用）

第57讲　圆锥曲线的综合应用 考试要求　高考中重点考查直线与椭圆的位置关系.‎ 诊 断 自 测 ‎1.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN＝ .‎ 解析　因y2＝8x则p＝4，焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，‎ 如图，M为FN中点，‎ 故易知线段BM为梯形ANFF′中位线，‎ ‎∵AN＝2，FF′＝4，‎ ‎∴MB＝3，‎ 又由定义MB＝MF，且MN＝MF，‎ ‎∴NF＝NM＋MF＝2MB＝6.‎ 答案　6‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB＋DE的最小值为 .‎ 解析　抛物线C为y2＝4x，焦点F(1，0)，准线x＝－1，由题意知，直线l1，l2的斜率均存在且不为零，设l1为y＝k(x－1)，直线l2的斜率为－，联立消y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(‎ x3，y3)，E(x4，y4)，由韦达定理得x1＋x2＝，同理x3＋x4＝，根据抛物线性质，有AB＝x1＋1＋x2＋1，同理DE＝x3＋1＋x4＋1，∴AB＋DE＝＋2＋＋2＝8＋＋4k2≥8＋2＝16，当且仅当＝4k2即k＝±1时取等号.‎ 答案　16‎ ‎3.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为 .‎ 解析　以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即＝，e＝＝.‎ 答案　 ‎4.(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为 .‎ 解析　如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝，又M，N均为圆A上的点，∴AM＝AN＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的距离为d＝AM·‎ sin 60°＝b，∴有＝b，解得a2＝3b2，∴c2＝4b2，∴e＝＝‎ ＝.‎ 答案　 知 识 梳 理 ‎1.定点定值问题 方法一：先特殊后一般，要加以证明；‎ 方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题.‎ ‎2.最值问题：(1)代数法：先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、二次函数法、导数法求解；(2)几何法：若条件、结论有明显的几何特征，则根据几何意义求最值．‎ ‎3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ 考点一　弦长问题 ‎【例1－1】 (2017·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点为A(－4，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆 C于点D，交y轴于点E.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值.‎ 解　(1)因为左顶点为A(－4，0)，所以a＝4，又e＝，所以c＝2.‎ 因为b2＝a2－c2＝12，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)直线l的方程为y＝k(x＋4)，由得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－48＝0，所以xA·xD＝－4xD＝，所以xD＝.‎ 因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx，‎ 由得点M的横坐标为x＝±.由OM∥l，‎ 得＝＝ ‎＝＝· ‎＝≥2，‎ 当且仅当＝，即k＝±时取等号，‎ 所以当k＝±，的最小值为2.‎ ‎【例1－2】 在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求椭圆M的方程.‎ 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，‎ 则＋＝1，＋＝1，＝－1，‎ 由此可得·＝－＝1.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，‎ 所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，‎ 故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以椭圆M的方程为＋＝1.‎ 考点二　定点定值问题 ‎【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，F1，F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)点P(x0，y0)是椭圆C上第一象限的点.‎ ‎①若M为线段BF1上一点，且满足＝·，求直线OP的斜率；‎ ‎②设点O到直线PF1，PF2的距离分别为d1，d2，求证：＋为定值，并求出该定值.‎ ‎(1)解　由题意知，2b＝4，∴ b＝2.∵ e＝＝，且a2＝b2＋c2，解得a＝，c＝1，∴ 椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)①解　由(1)知：B(0，－2)，F1(－1，0)，‎ ‎∴直线 BF1的方程为y＝－2x－2.‎ 设M(t，－2t－2)，‎ 由＝·，得 代入椭圆方程得＋6(t＋1)2＝1，‎ 得36t2＋60t＋25＝0，即(6t＋5)2＝0，‎ 解得t＝－，所以M，‎ 所以OM的斜率为，即直线OP的斜率为.‎ ‎②证明　由题意，PF1：y＝(x＋1)，‎ 即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0，‎ ‎∴ d1＝，‎ 同理可得d2＝.‎ ‎∴ ＋＝＋＝PF1＋PF2＝2a＝2.‎ 规律方法　(1)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.‎ ‎(2)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ 考点三　最值、取值范围问题 ‎【例3－1】 在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上.若点A(－a，0)，B，且＝.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合.若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，‎ 求D点横坐标的取值范围.‎ 解　(1)设C(x0，y0)，‎ 则＝，＝.‎ 因为＝，‎ 所以＝＝，得 代入椭圆方程得a2＝b2.‎ 因为c2＝a2－b2＝b2，‎ 所以椭圆的离心率e＝＝.‎ ‎(2)因为椭圆M的焦距为4，则c＝2，结合(1)可得椭圆M的方程为＋＝1.‎ 设PQ：y＝kx＋m，则直线l的方程为y＝－x－1，所以xD＝－k.‎ 将直线PQ的方程代入椭圆的方程，‎ 消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0.①‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN＝ ‎＝－，‎ 代入直线PQ的方程得yN＝，‎ 代入直线l的方程得9k2＝4m－5.②‎ 因为Δ＝(18km)2－4(5＋9k2)(9m2－45)＞0，化简得m2－9k2－5＜0.‎ 将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，‎ 所以－＜k＜，且k≠0，‎ 所以xD＝－k∈∪，‎ 综上所述，点D横坐标的取值范围是∪.‎ ‎【例3－2】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且MC∶AB＝2∶3，⊙M的半径为MC，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.‎ 解　(1)由题意知e＝＝，2c＝2，‎ 所以a＝，b＝1，‎ 因此椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立方程 得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0，‎ 由题意知Δ＞0，‎ 且x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以AB＝|x1－x2|＝ .‎ 由题意可知圆M的半径r为 r＝AB＝，‎ 由题设知k1k2＝，‎ 所以k2＝，‎ 因此直线OC的方程为y＝x，‎ 联立方程 得x2＝，y2＝，‎ 因此OC＝＝.‎ 由题意可知，sin＝＝.‎ 而＝＝，‎ 令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0，1)，‎ 因此＝＝ ‎＝≥1，‎ 当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，‎ 所以sin ≤，因此≤，‎ 所以∠SOT最大值为.‎ 综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.‎ 规律方法　圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.‎ 考点四　探索性问题 ‎【例4】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l：x－my－1＝0(m∈R)过椭圆C的右焦点F交椭圆C于A，B两点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎ (2)已知点D，连接BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)在x－my－1＝0中，令y＝0，则x＝1，所以F(1，0).‎ 由题设得解得从而b2＝a2－c2＝3，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)令m＝0，则A，B或A，‎ B.‎ 当A，B时，P；‎ 当A，B时，P.‎ 所以满足题意的定直线l2只能是x＝4.‎ 下面证明点P恒在直线x＝4上.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，‎ 从而只要证明P(4，y1)在直线BD上.‎ 由消去x，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0.‎ 因为Δ＝144(1＋m2)>0，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.①‎ 因为kDB－kDP＝－＝－＝＝.‎ 将①式代入上式，得kDB－kDP＝0，所以kDB＝kDP.‎ 所以点P(4，y1)在直线BD上，‎ 从而直线l1、直线BD与直线l2：x＝4三线恒过同一点P，‎ 所以存在一条定直线l2：x＝4，使得点P恒在直线l2上.‎ 规律方法　(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．‎ 一、必做题 ‎1.如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点.‎ ‎(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.‎ 试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明理由.‎ 解　(1)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入＋＝1，‎ 整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 所以x1＋x2＝.‎ 故点G的横坐标为＝＝－.‎ 解得k＝±.‎ ‎(2)假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直.‎ 由(1)可得G.‎ 设D点坐标为(xD，0).‎ 因为DG⊥AB，‎ 所以×k＝－1，‎ 解得xD＝，‎ 即D.‎ 因为△GFD∽△OED，‎ 所以S1＝S2⇔GD＝OD.‎ 所以 ＝，‎ 整理得8k2＋9＝0，此方程无解，‎ 所以不存在直线AB，使得S1＝S2.‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的三点，A，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)求点C的坐标；‎ ‎(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)，且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，求证·为定值，并求出该定值.‎ ‎(1)解　由已知得解得 ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)解　设点C(m，n)(m＜0，n＜0)，则BC中点为.由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0，从而m＝2n－3.①‎ 又点C在椭圆上，∴ m2＋2n2＝27.②‎ 由①②，解得n＝3(舍)，或n＝－1，从而m＝－5.‎ ‎∴点C的坐标为(－5，－1).‎ ‎(3)证明　设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).‎ ‎∵P，B，M三点共线，‎ ‎∴＝可得y1＝.‎ 同理由P，C，N三点共线，‎ 可得y2＝.‎ ‎∵点P在椭圆上，‎ ‎∴x＋2y＝27，x＝27－2y.‎ 从而y1y2＝＝＝3×＝.‎ ‎∴·＝5y1y2＝，‎ ‎∴·为定值，该定值为.‎ ‎3.(2017·无锡期末)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为点A，B.‎ ‎(1)求椭圆M和直线l的方程；‎ ‎(2)试在圆N上求一点P，使＝2.‎ 解　(1)由题意知解得a＝2，c＝1，‎ 所以b＝，‎ 所以椭圆M的方程为＋＝1.‎ 圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.‎ 由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①‎ 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，‎ 得m2＝3＋4k2.②‎ 由直线l：y＝kx＋m与圆N只有一个公共点，得＝，即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③‎ 将②代入③得km＝1.④‎ 由②④且k>0，得k＝，m＝2，‎ 所以直线l：y＝x＋2.‎ ‎(2)由(1)可知，A.‎ 又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以得交点B(0，2).‎ 设P(x0，y0)，因为＝2，‎ 则＝8，化简得7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0.⑤‎ 又P(x0，y0)满足x＋y－2x0＝4，⑥‎ 将⑤－7×⑥，得3x0－2y0＋5＝0，‎ 即y0＝.⑦‎ 将⑦代入⑥得13x＋22x0＋9＝0，‎ 解得x0＝－1或x0＝，‎ 所以P(－1，1)或P.‎ ‎4.如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切.‎ ‎(1)求椭圆C1的离心率；‎ ‎(2)若椭圆C1的短轴长为8，求·的最大值.‎ 解　(1)由题意得F(c，0)，A(0，b)，则kAF＝－.‎ 因为在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，‎ 所以直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.‎ 因为圆C2的圆心C2(0，3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以＝1，即＝1，所以e＝.‎ ‎(2)因为椭圆C1的短轴长为8，所以2b＝8，即b＝4.‎ 因为a2＝b2＋c2，＝1，所以a＝c，2c2＝b2＋c2.‎ 所以c＝b＝4，a＝4，所以椭圆方程是＋＝1.‎ 设P(x，y)，则·＝(2＋)·(2＋)‎ ‎＝|2|2＋2·(＋)＋· ‎＝|2|2＋·＝x2＋(y－3)2－1‎ ‎＝32＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋40‎ ‎＝－(y＋3)2＋49，‎ 又y∈[－4，4]，所以当y＝－3时，·的最大值是49.‎ ‎5.(2018·南师附中模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求k的取值范围；‎ ‎(3)求△OAB的面积S的取值范围．‎ 解　(1)由题意知2c＝2，所以c＝1.‎ 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，‎ 从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，‎ 所以原点O到直线l的距离为＝1，‎ 即m2＝k2＋1.由 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，由≤λ≤，得≤k2≤1，‎ 即k的取值范围是∪.‎ ‎(3)|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2－，‎ 由≤k2≤1，得≤|AB|≤.‎ 设△OAB的AB边上的高为d，‎ 则S＝|AB|d＝|AB|，‎ 所以≤S≤.‎ 即△OAB的面积S的取值范围是.‎