2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：．故选B．‎ 考点：解一元二次不等式．‎ ‎2．已知实数 满足则的最大值为（ ）‎ A．1 B．11 C．13 D．17‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，‎ 设，可化为直线，由图象可知当直线过点A时，‎ 此时在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，‎ 又由，解得，即点，‎ 所以目标函数的最大值为，‎ 即的最大值为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ）‎ A．（38－3m3 B．16 m3 C．4m3 D．14 m3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．‎ ‎∴车厢容积的最大值为．选B．‎ ‎4．已知集合A=‎x∈Z‎2−xx−6‎‎≥0‎，B=‎‎2,4,6‎，则‎∁‎AB=‎（　　）‎ A．‎2,3,4,5,6‎ B．‎‎3,4,5‎ C．‎3,5‎ D．‎‎2,4,6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式‎2−xx−6‎‎≥0‎，得出集合A，再利用补集的定义得出‎∁‎AB.‎ ‎【详解】‎ 解不等式‎2−xx−6‎‎≥0‎，即x−2‎x−6‎‎≤0‎，得‎2≤x≤6‎，‎ ‎∵A=x∈Z‎2−xx−6‎‎≥0‎=‎‎2,3,4,5,6‎‎，因此，‎∁‎AB=‎‎3,5‎，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的计算，解题的关键就是解出不等式，得出全集，再结合补集的定义进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．已知全集，则集合 等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由方程，解得或，即，，全集，故选B.‎ ‎6．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若关于的方程有实数根，‎ 一元二次方程即：，‎ 则，‎ 据此可得：“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件x−y≥−1‎x+y≤4‎y≥2‎，则目标函数z＝的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图所示，即为区域中的点和点连续的斜率，，，，可得，故选C.‎ 考点：简单的线性规划.‎ 二、填空题 ‎8．已知实数满足条件，则的最小值是_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意首先画出可行域，然后整理目标函数的解析式，结合目标函数的几何意义即可求得目标函数的最小值.‎ 详解：线性约束条件所表示的可行域如图所示，‎ 其中A（2，1），所以2x+y-3>0，所以，‎ 其中表示点（x，y）与（0，3）连线的斜率，‎ 其最小值为点A与（0，3）连线的斜率，即，‎ 所以的最小值是1.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎9．（2015秋•嘉兴期末）设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由m的范围求得m2=∈S，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围．‎ 解：由m=﹣时，得m2=∈S，则，‎ 解得：≤l≤1；‎ ‎∴l的范围是[，1]．‎ 故答案为：．‎ 考点：元素与集合关系的判断．‎ ‎10．已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将x和a分开得，设，则关于的方程在上有解，等价于的值域有交集，，求出在上的值域为[-15,-1）,所以只要让 ，即，‎ 考点：本题考查分离参数法 点评：将方程有解转化为两函数值域有交集，求出含x的函数的值域，等于另外一个含a的函数的值域，求出a的范围 ‎11．已知函数＝若函数有3个零点，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】[0，1）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：若函数有3个零点，即y＝f（x）与y＝m有3个不同的交点，作出f（x）的图象和y＝m的图象，可得出m的取值范围是m∈[0，1）．‎ 考点：考查了函数的零点 点评：解本题的关键是把问题转化为y＝f（x）与y＝m有3个不同的交点，利用数形结合使问题更直观．‎ ‎12．已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设与关于原点的对称，分析可得的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，‎ 若、均在不等式表示的平面区域内，则有，‎ 解可得：，即的取值范围为，；‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．‎ ‎13．已知全集集合，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式确定集合A,再求补集即可 ‎【详解】‎ ‎，则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集运算，准确求得集合A是关键，是基础题 ‎14．已知点的坐标满足条件 设为原点，则的最小值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出所表示的可行域，如图，由图可知，当的最小值是到直线的距离，由点到直线距离公式可得 ，即的最小值是，故答案为.‎ ‎15．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集定义分类讨论4可能对应的元素，再通过验证确定结果.‎ ‎【详解】‎ 若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，∴a＝2.‎ ‎【点睛】‎ 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．‎ 三、解答题 ‎16．已知全集，，‎ 求，，.‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集、并集和补集的运算，准确运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合，‎ 可得，，‎ 又由，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎17．已知函数 的定义域为 ，集合 ‎ ‎（1）若 ，求 ；‎ ‎（2）若，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由题意可得.‎ ‎(1)若，结合交集的定义可知；‎ ‎(2)由题意可知，据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 由 得 ，则 ‎ ‎（1）若 ，则 ，‎ ‎（2）由，得 ‎ 由 得 ‎ ‎∴实数 的取值范围是 ‎ ‎18．已知集合A={x|2≤2x≤32}，B={x|y=log2（3﹣x）}．‎ ‎（Ⅰ）求A∩B；‎ ‎（Ⅱ）若C={x|x≥a+1}，且（A∩B）⊆C，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）A∩B={x|1≤x＜3}；（Ⅱ）a≤0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集，确定出A与B，求出A∩B即可；‎ ‎（Ⅱ）由A与B交集是C的子集，由A与B的交集及C求出a的范围即可．‎ 解：（Ⅰ）由集合A中的不等式2≤2x≤32，‎ 变形得：21≤2x≤25，‎ 解得：1≤x≤5，‎ 即A={x|1≤x≤5}，‎ 令3﹣x＞0，得x＜3，‎ 得到B={x|x＜3}，‎ 则A∩B={x|1≤x＜3}；‎ ‎（Ⅱ）∵A∩B={x|1≤x＜3}，C={x|x≥a+1}，‎ 若（A∩B）⊆C，‎ ‎∴a+1≤1，‎ 解得：a≤0．‎ 考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．‎ ‎19．设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）．‎ ‎（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；‎ ‎（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）g（x）=x （2）存在，a=c=，b=．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；‎ ‎（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），‎ 可得a-b+c=0，又a=1，b=2，‎ 则f（x）=x2+2x+1，‎ 由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；‎ ‎（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，‎ 且f（x）为函数的一个承托函数．‎ 即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，‎ 令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，‎ 即1-b=a+c，‎ 又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0，‎ 即为（a+c）2-4ac≤0，即有a=c；‎ 又（a-）x2+bx+c-≤0恒成立，‎ 可得a＜，且b2-4（a-）（c-）≤0，‎ 即有（1-2a）2-4（a-）2≤0恒成立．‎ 故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1-2a，‎ 可取a=c=，b=．满足题意．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II）的最小值为100.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）根据，，成等差数列可求得，于是可得数列的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，然后根据裂项相消法求得，再由，得，从而得到，所以的最小值为100．‎ 详解：（I）∵，，成等差数列，‎ ‎∴，‎ 又数列是公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎（II）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴．‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴的最小值为100.‎ 点睛：用裂项法求和的原则及规律 ‎(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．‎ ‎(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．‎