【数学】2019届一轮全国通用版（文）第32讲一元二次不等式及其解法学案

【数学】2019届一轮全国通用版（文）第32讲一元二次不等式及其解法学案

第32讲　一元二次不等式及其解法 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．‎ ‎2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．‎ ‎3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ ‎2017·江苏卷，7‎ ‎2016·江苏卷，5‎ ‎2015·山东卷，1‎ 对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.‎ 分值：5分 三个二次之间的关系 判别式Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)‎ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ‎{x|x＜x1或x＞x2}‎ R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　√　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 R.(　×　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－‎4ac≤0.(　×　)‎ ‎(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　√　)‎ 解析　(1)正确．由不等式解集为(x1，x2)可知a＞0.‎ ‎(2)正确．由不等式的解集可知命题正确．‎ ‎(3)错误．当a＜0时，不等式的解集为∅.‎ ‎(4)错误．不等式恒成立的条件为或 ‎(5)正确．图象开口向下，则一定有小于0的部分．‎ ‎2．已知全集U＝R，集合A＝x，B＝x，则A∩B＝(　D　)‎ A．(1,2)　　 B．(2,3)　　‎ C．[2,3)　　 D．(1,2]‎ 解析　∵＞0，∴(x－1)(x－3)＜0，∴1＜x＜3.又∵4－2x≥0，∴4≥2x，∴x≤2，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选D．‎ ‎3．不等式x(2－x)＞0的解集为__(0,2)__.‎ 解析　∵x(2－x)＞0，∴x(x－2)＜0，∴0＜x＜2，故解集为(0,2)．‎ ‎4．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b＝__－14__.‎ 解析　由题意可知a＜0，且－和是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，‎ ‎∴解得∴a＋b＝－14.‎ ‎5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__(－∞，－4]∪[4，＋∞)__.‎ 解析　由题意可知Δ＝a2－16≥0，解得a≥4或a≤－4.‎ 一　一元二次不等式的解法 ‎(1)解一元二次不等式的一般步骤 ‎①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集．‎ ‎(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论 ‎①二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；‎ ‎②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系；‎ ‎③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．‎ ‎【例1】 解下列关于x的不等式．‎ ‎(1)－2x2＋x＋3<0；‎ ‎(2)ax2－2≥2x－ax(a∈R)．‎ 解析　(1)化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，‎ 解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，‎ ‎∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪，‎ 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪.‎ ‎(2)原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.‎ ‎②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或 x≤－1.‎ ‎③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；‎ 当＜－1，即－20，且f(－1)＝－1.　‎ 若f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是(　D　)‎ A．[－2,2]‎ B．∪{0}∪ C． D．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)‎ 解析　由题设条件知f(x)是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1.f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，即1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0恒成立．设g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，则即解得t≤－2或t＝0或t≥2.故选D．‎ 课时达标　第32讲 ‎[解密考纲]考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．不等式<1的解集是(　A　)‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－1,1)‎ 解析　∵＜1，∴－1＜0，即＜0，该不等式可化为 ‎(x＋1)(x－1)＞0，∴x＜－1或x＞1.故选A．‎ ‎2．(2018·湖南株洲期中)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋‎2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　B　)‎ A．(0,2)　　 B．(－2,1)‎ C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)　　 D．(－1,2)‎ 解析　根据条件由x⊙(x－2)<0，得(x＋2)(x－1)<0，解得－20的解集为{x|－10的解集为(　A　)‎ A．x　　 B．x C．{x|－21}‎ 解析　∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，解得x<－1或x>.‎ 故选A．‎ ‎5．若ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有(　B　)‎ A．f(5)0成立，则实数x的取值范围为__(－3，－1)__.‎ 解析　不等式可变形为(x2＋x)p－3x－3＞0，令f(p)＝(x2＋x)p－3x－3，p∈[－1,1]．原不等式成立等价于f(p)＞0，p∈[－1,1]，则即解得－3＜x＜－1.‎ ‎9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若方程f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是__(－4,0)__.‎ 解析　由题意知a＜0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋‎2a，∴f(x)max＝f＝－＜1，∴a＞－4，故－4＜a＜0.‎ 三、解答题 ‎10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)>0；‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．‎ 解析　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋‎6a＋3＞0，‎ 即a2－‎6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.‎ ‎∴不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．‎ ‎(2)∵f(x)＞b的解集为(－1,3)，‎ ‎∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，‎ ‎∴解得 ‎11．解关于x的不等式ax2－(‎2a＋1)x＋2<0(a∈R)．‎ 解析　原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.‎ ‎①当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是∅；‎ 当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.‎ ‎②当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}．‎ ‎③当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)＞0，‎ 由于＜2，故原不等式的解集是.‎ 综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝ 时，不等式的解集为∅；当a＞时，不等式的解集为.‎ ‎12．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3). ‎ ‎(1)若方程f(x)＋‎6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．‎ 解析　(1)因为f(x)＋2x＞0的解集为(1,3)，‎ f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，‎ 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋‎4a)x＋‎3a.　①‎ 由方程f(x)＋‎6a＝0，‎ 得ax2－(2＋‎4a)x＋‎9a＝0.　②‎ 因为方程②有两个相等的实根，‎ 所以Δ＝[－(2＋‎4a)]2－‎4a·‎9a＝0，‎ 即‎5a2－‎4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.‎ 由于a＜0，舍去a＝1，将a＝－代入①，‎ 得f(x)＝－x2－x－.‎ ‎(2)由f(x)＝ax2－2(1＋‎2a)x＋‎3a＝a2－及a＜0，可得f(x)的最大值为－.‎ 由解得a＜－2－或－2＋＜a＜0.‎ 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．‎