- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版(理)双曲线教案
1.双曲线定义 平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 其中a,c为常数且a>0,c>0. (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线; (2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线; (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为+=1(mn<0). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ ) (5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 1.(教材改编)若双曲线-=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( ) A. B.5 C. D.2 答案 A 解析 由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2. ∴e2==5,∴e=. 2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( ) A. B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 设C:-=1. ∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4,得A(-4,),B(-4,-), ∴|AB|=2=4, ∴a=2,∴2a=4. ∴C的实轴长为4. 3.(2015·安徽)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.-x2=1 D.y2-=1 答案 C 解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为y=±x,只有C符合,故选C. 4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是________. 答案 2 解析 由已知,a2=7,b2=3,则c2=7+3=10,故焦距为2c=2. 5.双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于________. 答案 解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0), 一条渐近线方程是y=x,即x-2y=0, 则顶点到渐近线的距离d==. 题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程 例1 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________. 答案 x2-=1(x≤-1) 解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|= |MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)虚轴长为12,离心率为; (2)焦距为26,且经过点M(0,12); (3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 -=1或-=1(a>0,b>0). 由题意知,2b=12,e==. ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12. 又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. ∴双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0). ∴解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 命题点3 利用定义解决焦点三角形问题 例3 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=______. 答案 解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2| =|PF2|=2a=2, ∴|PF1|=2|PF2|=4, 则cos∠F1PF2= ==. 引申探究 1.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2, 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= =,所以|PF1|·|PF2|=8, 所以=|PF1|·|PF2|sin 60°=2. 2.本例中将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2, 由于·=0,所以⊥, 所以在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16, 所以|PF1|·|PF2|=4, 所以=|PF1|·|PF2|=2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程; (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可. (1)已知F1,F2为双曲线-=1的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为( ) A.+4 B.-4 C.-2 D.+2 (2)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.3 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由题意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a, 要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值, 当A,P,F1三点共线时,取得最小值, 则|AP|+|AF1|=|PF1|=, ∴|AP|+|AF2|的最小值为|AP|+|AF1|-2a=-2. 故选C. (2)不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.根据双曲线的定义,得r1-r2=2a, 又r1+r2=3b,故r1=,r2=. 又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=(负值舍去),故e====,故选B. 题型二 双曲线的几何性质 例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( ) A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1 (2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________. 答案 (1)A (2) 解析 (1)由题意可得m2-1=n2+1,即m2=n2+2, 又∵m>0,n>0,故m>n. 又∵e·e=·=· ==1+>1,∴e1·e2>1. (2)由题意,不妨设直线OA的方程为y=x,直线OB的方程为y=-x. 由得x2=2p ·x, ∴x=,y=,∴A. 设抛物线C2的焦点为F,则F, ∴kAF=. ∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1, ∴·=-1,∴=. 设C1的离心率为e,则e2===1+=. ∴e=. 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2. (2016·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( ) A. B. C. D.2 答案 A 解析 离心率e=,由正弦定理得e====.故选A. 题型三 直线与双曲线的综合问题 例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点. (1)求双曲线C2的方程; (2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围. 解 (1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0), 则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1. 故C2的方程为-y2=1. (2)将y=kx+代入-y2=1, 得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 ∴k2≠且k2<1.① 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2 =. 又∵·>2,得x1x2+y1y2>2, ∴>2,即>0, 解得查看更多