【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版8-1空间几何体的结构、三视图和直观图学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版8-1空间几何体的结构、三视图和直观图学案

§8.1　空间几何体的结构、三视图和直观图 最新考纲 考情考向分析 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特 征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体 的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所 表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直 观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图 与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 空间几何体的结构特征、三视 图、直观图是高考重点考查的 内容.主要考查根据几何体的 三视图求其体积与表面积.对 空间几何体的结构特征、三视 图、直观图的考查，以选择题 和填空题为主. 1.多面体的结构特征 2.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3.三视图与直观图 直观图 空间几何的直观图：常用斜二测画法来画. 基本步骤是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x′轴，y′轴的 夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直； (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行 于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的 线段在直观图中长度为原来的一半 三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等 概念方法微思考 1.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？ 提示　不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱. 2.什么是三视图？怎样画三视图？ 提示　光线自物体的正前方投射所得的正投影称为主视图，自左向右的正投影称为左视图， 自上向下的正投影称为俯视图，几何体的主视图、左视图和俯视图统称为三视图.画几何体的 三视图的要求是主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　×　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　×　) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分.(　√　) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.(　×　) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　×　) (6)菱形的直观图仍是菱形.(　×　) 题组二　教材改编 2.下列说法正确的是(　　) A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案　D 解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变. 3.在如图所示的几何体中，是棱柱的为________.(填写所有正确的序号) 答案　③⑤ 题组三　易错自纠 4.某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是(　　) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 答案　A 解析　由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱 的主视图不可能为三角形. 5.(2019·沈阳模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的左视图是(　　) 答案　C 解析　此几何体左视图是从左边向右边看.故选 C. 6.如图，直观图所表示的平面图形是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 答案　D 解析　由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后 AC∥y 轴，BC∥x 轴.所以△ABC 是直角三角形.故选 D. 7.(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图.圆柱表面上的点 M 在主视 图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为(　　) A.2 17 B.2 5 C.3 D.2 答案　B 解析　先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M，N 的位置如图①所示. 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图②所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径. |ON|＝1 4×16＝4，|OM|＝2， ∴|MN|＝ |OM|2＋|ON|2＝ 22＋42＝2 5. 故选 B. 题型一　空间几何体的结构特征 1.以下命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确.对于命题④，只有用平行于圆锥底 面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确. 2.给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为________.(填序号) 答案　①②③ 解析　对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形 的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂 直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确. 综上，命题①②③不正确. 思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定. (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析. 题型二　简单几何体的三视图 命题点 1　已知几何体识别三视图 例 1　(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部 分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　) 答案　A 解析　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A. 命题点 2　已知三视图，判断简单几何体的形状 例 2　如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几 何体是(　　) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 答案　B 解析　由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三 棱柱. 命题点 3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例 3　(2019·包头质检)图中网格的各小格是单位正方形，粗线构成的上下两个图形分别是正 三棱锥与圆台组合体的主视图和俯视图，那么该组合体的左视图的面积为(　　) A.6＋ 3 B.15 2 C.6＋3 3 4 D.8 3 答案　B 解析　由三视图还原可得原图形为一个圆台上面放了一个正三棱锥，所以左视图下面圆台是 一个等腰梯形，面积为 S1＝ (2＋4) × 2 2 ＝6，上面是一个三角形，面积为 S2＝1 2×3 2×2＝3 2， 所以左视图的面积为 S＝S1＋S2＝15 2 ，故选 B. 思维升华　三视图问题的常见类型及解题策略 (1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线. (2)还原几何体.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原. (3)由部分视图画出剩余的部分视图.先猜测，还原，再判断.当然作为选择题，也可将选项逐 项代入. 跟踪训练 1　(1)(2018·大连模拟)如图，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，P 为 BD1 的中点，则 △PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是(　　) A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 答案　B 解析　P 点在上下底面投影落在 AC 或 A1C1 上，所以△PAC 在上底面或下底面的投影为①， 在前、后面以及左、右面的投影为④. (2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长棱的长度为(　　) A.3 3 B.2 6 C. 21 D.2 5 答案　B 解析　由三视图得，该几何体为四棱锥 P－ABCD，如图所示. 侧面 PAB⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， 过点 P 作 PE⊥AB，垂足为点 E， 则 AE＝1，BE＝2，AD＝2，PE＝4， 则该几何体中最长的棱为 PC＝ 42＋22＋22＝2 6，故选 B. 题型三　空间几何体的直观图 例 4　已知等腰梯形 ABCD，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线 为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________. 答案　 2 2 解析　如图所示，作出等腰梯形 ABCD 的直观图. 因为 OE＝ ( 2)2－1＝1，所以 O′E′＝1 2，E′F＝ 2 4 ， 则直观图 A′B′C′D′的面积 S′＝1＋3 2 × 2 4 ＝ 2 2 . 思维升华　用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线. 跟踪训练 2　如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为 45°、腰和 上底长均为 2 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　) A.2＋ 2 B.1＋ 2 C.4＋2 2 D.8＋4 2 答案　D 解析　由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的 面积为 4 × (2＋2＋2 2) 2 ＝8＋4 2，故选 D. 1.(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆 柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 (　　) A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面 答案　C 解析　将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶 水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面， 故选 C. 2.如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)， 则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　) A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤ 答案　B 解析　主视图应该是边长为 3 和 4 的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线， 因此主视图是①，侧视图应该是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到 右上是虚线，因此左视图是②；俯视图应该是边长为 3 和 5 的矩形，其对角线左上到右下是 实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③. 3.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 答案　C 解析　截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体. 4.某几何体的主视图与左视图如图所示，则它的俯视图不可能是(　　) 答案　C 解析　若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为 A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体， 则俯视图为 B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为 D；不可能为 C，故选 C. 5.在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图为(　　) 答案　D 解析　由主视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与被轴截面截开的半个圆锥的组合体，故 左视图为 D. 6.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为(　　) A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 答案　C 7.(2019·赤峰模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑 堵”.已知某“堑堵”的主视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为(　　) A.18 6 B.18 3 C.18 2 D.27 2 2 答案　C 解析　由主视图和俯视图可知，该几何体为直三棱柱， 底面直角三角形斜边的高为 6 × 3＝3 2， 该“堑堵”的左视图的面积为 3 2×6＝18 2，故选 C. 8.用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.正方形 D.正六边形 答案　A 解析　用一个平面去截正方体，则截面的情况为： ①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、 直角三角形； ②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形； ③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形. 9.一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 O′A′B′C′如图所示， 此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 的面积为________. 答案　2 2 解析　因为直观图的面积是原图形面积的 2 4 倍，且直观图的面积为 1，所以原图形的面积为 2 2. 10.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，则三棱锥 P－ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________. 答案　1 解析　如题图所示，设正方体的棱长为 a，则三棱锥 P－ABC 的主视图与左视图都是三角形， 且面积都是 1 2a2，故面积的比值为 1. 11.给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是________. 答案　②③④ 解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正 确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③ 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方 体 ABCD－A1B1C1D1 中的三棱锥 C1－ABC，四个面都是直角三角形. 12.某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为 ________. 答案　 41 解析　四面体如图所示，其中 SB⊥平面 ABC 且在△ABC 中，∠ACB＝90°. 由 SB⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC 得 SB⊥AB，同理 SB⊥BC， 所以棱长最长的为 SA 且 SA＝ SB2＋AB2＝ SB2＋AC2＋BC2＝ 41. 13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1，O2，这两个球外切，且球 O1 与正方 体共顶点 A 的三个面相切，球 O2 与正方体共顶点 B1 的三个面相切，则两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影是(　　) 答案　B 解析　由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切.由于两球球心连线 AB1 与面 ACC1A1 不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆 相交，即为图 B. 14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是.他对《九章算术》中“开 立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方 盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分. 如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图的形状为(　　) 答案　B 解析　由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易 得其俯视图为 B，故选 B. 15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是(　　) A.圆弧 B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 答案　D 解析　根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得， 故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选 D. 16.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处.若该小虫爬行的最短路程为 4 2 m，则圆锥底 面圆的半径等于________ m. 答案　1 解析　把圆锥侧面沿过点 P 的母线展开成如图所示的扇形， 由题意 OP＝4，PP′＝4 2， 则 cos∠POP′＝42＋42－(4 2)2 2 × 4 × 4 ＝0，且∠POP′是三角形的内角，所以∠POP′＝π 2. 设底面圆的半径为 r，则 2πr＝π 2×4，所以 r＝1.