2018届二轮复习11-1随机事件的概率课件（全国通用）

2018届二轮复习11-1随机事件的概率课件（全国通用）

11 . 1 　 随机事件的概率 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 事件的分类 可能发生也可能不发生 - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 频率与概率 (1) 频率的概念 : 在相同的条件 S 下重复 n 次试验 , 观察某一事件 A 是否出现 , 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的 　　　　 , 称事件 A 出现的比例 为事件 A 出现的 　　　　 .   (2) 随机事件概率的定义 : 在 　　　　 的条件下 , 大量重复进行同一试验时 , 随机事件 A 发生的 　　　　 会在某个 　　　　 附近摆动 , 即随机事件 A 发生的频率具有稳定性 . 这时这个 　　　　 叫做随机事件 A 的概率 , 记作 P ( A ), 有 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 .   (3) 概率与频率的关系 : 对于给定的随机事件 A , 由于事件 A 发生的频率 f n ( A ) 随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ), 因此可以用 ______ 来估计概率 P ( A ) .   频数 频率 相同 频率 常数 常数 频率 f n ( A ) - 5 - 知识梳理 考点自测 3 . 事件的关系与运算 发生 一定发生 B ⊇ A ( 或 A ⊆ B ) A ⊇ B A=B 当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生 A ∪ B ( 或 A+B ) 当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生 A ∩ B ( 或 AB ) - 6 - 知识梳理 考点自测 不可能 A ∩ B= ⌀ 不可能 必然事件 A ∩ B= ⌀ , 且 A ∪ B= Ω - 7 - 知识梳理 考点自测 4 . 互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件的特殊情况 , 而互斥事件未必是对立事件 . 5 . 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围 : 　　　　　　　　 .   (2) 必然事件的概率 : P ( A ) = 　　　 .   (3) 不可能事件的概率 : P ( A ) = 　　　 .   (4) 概率的加法公式 : 若事件 A 与事件 B 互斥 , 则 P ( A ∪ B ) = 　　　　　　 .   (5) 对立事件的概率 : 若事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 则 A ∪ B 为必然事件 .P ( A ∪ B ) = 　　　 , P ( A ) = 　　　　　 .   0 ≤ P ( A ) ≤ 1 1 0 P ( A ) +P ( B ) 1 1 -P ( B ) - 8 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 事件发生的频率与概率是相同的 . ( 　　 ) (2) 随机事件和随机试验是一回事 . ( 　　 ) (3) 在大量重复试验中 , 概率是频率的稳定值 . ( 　　 ) (4) 两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生 . ( 　　 ) (5) 若 A , B 为互斥事件 , 则 P ( A ) +P ( B ) = 1 . ( 　　 ) × √ × √ × 2 . 设甲 : A 1 , A 2 是互斥事件 ; 乙 : A 1 , A 2 是对立事件 , 则 ( 　　 ) A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件 , 也不是乙的必要条件 B 解析 : 互斥事件不一定是对立事件 , 但对立事件一定是互斥事件 . - 9 - 知识梳理 考点自测 3 . 下列说法 : ① 频率反映事件发生的频繁程度 , 概率反映事件发生的可能性大小 ; ② 做 n 次随机试验 , 事件 A 发生 m 次 , 则事件 A 发生的频率 就是事件 A 发生的概率 ; ③ 百分率是频率 , 但不是概率 ; ④ 频率是不能脱离 n 次试验的试验值 , 而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 ; ⑤ 频率是概率的近似值 , 概率是频率的稳定值 . 其中正确的是 ( 　　 ) A. ①②③④ B. ①④⑤ C. ①②③④⑤ D. ②③ B 解析 : 由概率的相关定义知 ①④⑤ 正确 . - 10 - 知识梳理 考点自测 A - 11 - 知识梳理 考点自测 5 . 某射手在同一条件下进行射击 , 结果如下 : 这个射手射击一次 , 击中靶心的概率约是 　　　　　 .   0 . 90 解析 : 击中靶心的频率依次为 0 . 8,0 . 95,0 . 88,0 . 92,0 . 89,0 . 91, 易知击中靶心的频率在 0 . 90 附近摆动 , 故 P ( A )≈0 . 90 . - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 随机事件的关系 例 1 一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6 . 将这个玩具向上抛掷 1 次 , 设事件 A 表示向上的一面出现奇数 , 事件 B 表示向上的一面出现的数字不超过 3, 事件 C 表示向上的一面出现的数字不小于 4, 则 ( 　　 ) A. A 与 B 是互斥而非对立事件 B. A 与 B 是对立事件 C. B 与 C 是互斥而非对立事件 D. B 与 C 是对立事件 D 解析 : 根据互斥事件与对立事件的定义作答 , A ∩ B= { 出现点数 1 或 3}, 事件 A , B 不互斥更不对立 ; B ∩ C= ⌀ , B ∪ C= Ω ( Ω 为必然事件 ), 故事件 B , C 是对立事件 . - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 如何判断随机事件之间的关系 ? 解题心得 判断随机事件之间的关系有两种方法 :(1) 紧扣事件的分类 , 结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断 ;(2) 类比集合进行判断 , 把所有试验结果写出来 , 看所求事件包含哪些试验结果 , 从而断定所给事件的关系 . 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 , 则事件互斥 ; 事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合 , 是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 . - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 1 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球 , 则互斥而不对立的事件有 　　　　 . ( 填序号 )   ① 至少有一个红球 , 都是红球 ; ② 至少有一个红球 , 都是白球 ; ③ 至少有一个红球 , 至少有一个白球 ; ④ 恰有一个红球 , 恰有两个红球 . ④ 解析 : 由互斥事件与对立事件的关系及定义知 , ① 不互斥 , ② 对立 , ③ 不互斥 , ④ 互斥不对立 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 随机事件的频率与概率 例 2 某险种的基本保费为 a ( 单位 : 元 ), 继续购买该险种的投保人称为续保人 , 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 : 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况 , 得到如下统计表 : - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (1) 记 A 为事件 :“ 一续保人本年度的保费不高于基本保费 ”, 求 P ( A ) 的估计值 ; (2) 记 B 为事件 :“ 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” . 求 P ( B ) 的估计值 ; (3) 求续保人本年度平均保费的估计值 . - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (3) 由所给数据得 调查的 200 名续保人的平均保费为 0 . 85 a× 0 . 30 +a× 0 . 25 + 1 . 25 a× 0 . 15 + 1 . 5 a× 0 . 15 + 1 . 75 a× 0 . 10 + 2 a× 0 . 05 = 1 . 192 5 a. 因此 , 续保人本年度平均保费的估计值为 1 . 192 5 a. - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 随机事件的频率与概率有怎样的关系 ? 如何求随机事件的概率 ? 解题心得 1 . 概率是频率的稳定值 , 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 , 它是频率的科学抽象 . 当试验次数越来越多时 , 频率越稳定于概率 . 2 . 求解随机事件的概率的常用方法有两种 :(1) 可用频率来估计概率 . (2) 利用随机事件 A 包含的基本事件数除以基本事件总数 . 计算的方法有 : 列表法 ; 列举法 ; 树状图法 . - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 2 (2017 浙江绍兴模拟 ) 如图所示 ,A 地到火车站共有两条路径 L 1 和 L 2 , 现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查 , 调查结果如下 : (1) 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率 ; (2) 分别求通过路径 L 1 和 L 2 所用时间落在上表中各时间段内的频率 ; (3) 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 , 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站 , 试通过计算说明 , 他们应如何选择各自的路径 . - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解 (1) 由已知共调查了 100 人 , 其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 + 12 + 16 + 4 = 44 人 . 故用频率估计相应的概率为 = 0 . 44 . (2) 选择 L 1 的有 60 人 , 选择 L 2 的有 40 人 , 故由调查结果得频率如下表 . (3) A 1 , A 2 分别表示甲选择 L 1 和 L 2 时 , 在 40 分钟内赶到火车站 ; B 1 , B 2 分别表示乙选择 L 1 和 L 2 时 , 在 50 分钟内赶到火车站 . 由 (2) 得 P ( A 1 ) = 0 . 1 + 0 . 2 + 0 . 3 = 0 . 6, P ( A 2 ) = 0 . 1 + 0 . 4 = 0 . 5, P ( A 1 ) >P ( A 2 ), 故甲应选择 L 1 ; P ( B 1 ) = 0 . 1 + 0 . 2 + 0 . 3 + 0 . 2 = 0 . 8, P ( B 2 ) = 0 . 1 + 0 . 4 + 0 . 4 = 0 . 9, P ( B 2 ) >P ( B 1 ), 故乙应选择 L 2 . - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 互斥事件、对立事件的概率 例 3 (2017 河南洛阳模拟 ) 经统计 , 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下 : 求 :(1) 至多 2 人排队等候的概率是多少 ? (2) 至少 3 人排队等候的概率是多少 ? - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解 记 “0 人排队等候 ” 为事件 A ,“1 人排队等候 ” 为事件 B ,“2 人排队等候 ” 为事件 C ,“3 人排队等候 ” 为事件 D ,“4 人排队等候 ” 为事件 E ,“5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F , 则事件 A , B , C , D , E , F 彼此互斥 . (1) 记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G , 则 G=A ∪ B ∪ C , 所以 P ( G ) =P ( A ∪ B ∪ C ) =P ( A ) +P ( B ) +P ( C ) = 0 . 1 + 0 . 16 + 0 . 3 = 0 . 56 . (2)( 方法一 ) 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H , 则 H=D ∪ E ∪ F , 所以 P ( H ) =P ( D ∪ E ∪ F ) =P ( D ) +P ( E ) +P ( F ) = 0 . 3 + 0 . 1 + 0 . 04 = 0 . 44 . ( 方法二 ) 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H , 则其对立事件为事件 G , 所以 P ( H ) = 1 -P ( G ) = 0 . 44 . - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 求互斥事件的概率的一般方法有哪些 ? 解题心得 求互斥事件的概率一般有两种方法 : (1) 公式法 : 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 , 运用互斥事件的求和公式计算 ; (2) 间接法 : 先求此事件的对立事件的概率 , 再用公式 P ( A ) = 1 - 求出所求概率 , 特别是 “ 至多 ”“ 至少 ” 型题目 , 用间接求法就较简便 . - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 3 某商场有奖销售中 , 购满 100 元商品得 1 张奖券 , 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位 , 设特等奖 1 个 , 一等奖 10 个 , 二等奖 50 个 . 设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A , B , C , 求 : (1) P ( A ), P ( B ), P ( C ); (2)1 张奖券的中奖概率 ; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 . 对于给定的随机事件 A , 由于事件 A 发生的频率 f n ( A ) 随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ), 因此可以用频率 f n ( A ) 来估计概率 P ( A ) . 2 . 利用集合方法判断互斥事件与对立事件 : (1) 若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 , 则事件互斥 ; (2) 事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合 , 是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 . 3 . 若某一事件包含的基本事件较多 , 而它的对立事件包含的基本事件较少 , 则可用 “ 正难则反 ” 思想求解 . - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 . 正确认识互斥事件与对立事件的关系 : 对立事件是互斥事件 , 是互斥中的特殊情况 , 但互斥事件不一定是对立事件 . 善于将事件转化为互斥事件的和或对立事件求解 . 2 . 注意概率加法公式的使用条件 , 概率的一般加法公式 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) -P ( A ∩ B ) 中 , 易忽视只有当 A ∩ B= ⌀ , 即 A , B 互斥时 , P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ), 此时 P ( A ∩ B ) = 0 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思想方法 ——“ 正难则反 ” 思想在概率中的应用 “ 正难则反 ” 的思想是一种常见的数学思想 , 如反证法、补集的思想都是 “ 正难则反 ” 思想的体现 . 在解决问题时 , 如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决 , 那么尝试采用 “ 正难则反 ” 思想往往会起到事半功倍的效果 , 大大降低题目的难度 . 在求对立事件的概率时 , 经常应用 “ 正难则反 ” 的思想 , 即若事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 在求 P ( A ) 或 P ( B ) 时 , 利用公式 P ( A ) = 1 -P ( B ) 先求容易的一个 , 再求另一个 . - 30 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 典例 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 , 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 , 如下表所示 . 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% . (1) 确定 x , y 的值 , 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 ; (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 . ( 将频率视为概率 ) - 31 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解 (1) 由已知得 25 +y+ 10 = 55, x+ 30 = 45, 所以 x= 15, y= 20 . 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 , 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本 , 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 , - 32 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (2) 记 A 为事件 “ 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟 ”, A 1 , A 2 , A 3 分别表示事件 “ 该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟 ”“ 该顾客一次购物的结算时间为 1 . 5 分钟 ”“ 该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟 ”, 将频率视为概率得