2018届二轮复习到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式学案（全国通用）

2018届二轮复习到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式学案（全国通用）

专题36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式 ‎ 考纲要求:‎ ‎1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：‎ ‎2、掌握放缩的技巧与方法.‎ 基础知识回顾:‎ 放缩的技巧与方法：‎ ‎（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：‎ ‎① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）‎ ‎② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）‎ ‎③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 ‎④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 ‎（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：‎ ‎① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ‎② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）‎ ‎③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。‎ ‎④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。‎ ‎（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：‎ ‎① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）‎ ‎② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ‎ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为 。‎ 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 ‎（4）与数列中的项相关的不等式问题：‎ ‎① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ‎② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:‎ 类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列为等比数列，求的值；‎ ‎（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎（2）由（1）知，，即，‎ 若数列为等比数列，则有，‎ 而，，，‎ 故，解得，‎ 再将代入，得，‎ 例2.记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设，则因此由 ‎，因此中最大项必在A中，由（2）得.‎ 试题解析：（1）由已知得.‎ 于是当时，.‎ 又，故，即.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ 综合①②③得，. ‎ 类型二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数，数列满足：．‎ ‎（1）求证:时，；‎ ‎（2）求证: （）；‎ ‎（3）求证:（）．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．‎ 故，‎ 则有：‎ 例4.已知是数列的前项和，且对任意，有.其中为实数，且.‎ ‎（1）当时，‎ ‎①求数列的通项；‎ ‎②是否存在这样的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件，否则，请说明理由.‎ ‎（2）当时，设，‎ ‎① 判定是否为等比数列；‎ ‎②设，若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）①；②不存在；（2）①当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，，不是等比数列；②．‎ 方法、规律归纳:‎ 常见的放缩变形：‎ ‎（1），‎ ‎（2）‎ 注：对于还可放缩为：‎ ‎（3）分子分母同加常数：‎ ‎（4） ‎ ‎ ‎ 可推广为：‎ ‎ ‎ 实战演练:‎ ‎1．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列满足记数列的前项和为， ‎ ‎ （1）求证：数列为等比数列，并求其通项；‎ ‎ （2）求；‎ ‎ （3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2） （3）当为偶数时， 都成立，（3）详见解析 ‎（3）假设存在正整数 ，使得 成立，‎ 因为 ， ，‎ 所以只要 ‎ 即只要满足 ①： ，和②： ，‎ 对于①只要 就可以；‎ 对于②，‎ 当 为奇数时，满足 ，不成立，‎ 当 为偶数时，满足，即 ‎ 令 ，‎ 因为 ‎ 即 ，且当 时， ，‎ 所以当 为偶数时，②式成立，即当 为偶数时， 成立 . ‎ ‎2．【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列中， ， ， ，其中．‎ ‎⑴ 求证：数列为等差数列；‎ ‎⑵ 设， ，数列的前项和为，若当且为偶数时， 恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎⑶ 设数列的前项的和为，试求数列的最大值.‎ ‎【答案】⑴见解析⑵⑶‎ ‎ ‎ 要使对且为偶数恒成立，‎ 只要使对且为偶数恒成立，‎ 即使对为正偶数恒成立，‎ ‎， ，故实数的取值范围是； ‎ ‎⑶由⑴得， ，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 设， ‎ ‎，‎ 当时， ，即，‎ 当时， ，即，‎ ‎，‎ 因此数列的最大值为． ‎ ‎【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明（1）的关键是分析得到与的关系式．‎ ‎3．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足，．数列满足，，且．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数，，使，，（）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）不存在 ‎（2）由（1）得，‎ 于是，‎ 所以 两式相减得，‎ 所以， ‎ 由（1）得， ‎ 因为对 ，都有，‎ 即恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 记，‎ 所以， ‎ 因为 ，‎ 从而数列为递增数列，所以当时取最小值，‎ 于是． ‎ ‎（3）假设存在正整数（），使成等差数列，则，‎ 即 ，‎ 若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.‎ 若为奇数，设，则，‎ 于是，即，‎ 当时，，此时与矛盾；‎ ‎4．已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足． ‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；‎ ‎（3）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在， ；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m ‎，满足条件，先求出，将问题转化成可求得的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，即． ‎ 又，所以 ‎ . ‎ 当时，上式成立，‎ 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故. ‎ ‎（3）当为奇数时，‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ 当为偶数时，‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 因此． ‎ 点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。‎ ‎5．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数．‎ ‎（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．‎ ‎（2）当时，求证： ．‎ ‎（3）当时，求证：当时， ．‎ ‎【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 当时， ，两式相减得，‎ 即， ， ， ，‎ 当时， ，即，综上， ．‎ ‎ 6．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为.‎ ‎（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”.‎ ‎①若数列“坠点数列”，求 ‎②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）①，② 6.‎ ‎7．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集具有性质对任意的，使得成立.‎ ‎（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（2）求证： ；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）不具有（2）见解析（3）.‎ ‎（2）因为集合具有性质，所以对而言，存在，使得，又因为，所以，所以，同理可得，将上述不等式相加得： ，所以.‎ ‎（3）由（2）可知，又，所以，‎ 所以，构成数集，经检验具有性质，故的最小值为.‎ 点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得，同理可得，再将上述不等式相加得： 即可获证；证明第三问时，充分借助（2）的结论可知，又，所以可得，因此构成数集，经检验具有性质，进而求出的最小值为.‎ ‎8．记等差数列的前项和为.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列； ‎ ‎（2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；‎ ‎（3）记，求证： .‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）见解析 解：（1）设等差数列的公差为，则，从而，所以当时， ，即数列是等差数列. ‎ ‎（2）因为的任意的都是公差为，的等差数列，所以是公差为，的等差数列，又，所以 ‎，所以，显然， 满足条件，当时，因为，所以，所以不是整数，综上所述，正整数的取值集合为.‎ ‎（3）设等差数列的公差为，则，所以，即数列是公比大于，首项大于的等比数列，记公比为.以下证明： ，其中为正整数，且，因为，所以，所以，当时， ，当时，因为为减函数， ，所以，所以，综上， ，其中 ‎ ‎，即.‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1，(n＋2) cn＝，其中n∈N*．‎ ‎（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．‎ ‎【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.‎ ‎ ‎ ‎10．已知各项不为零的数列的前项和为，且， ， ．‎ ‎（1）若成等比数列，求实数的值；‎ ‎（2）若成等差数列，‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②在与间插入个正数，共同组成公比为的等比数列，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎（3），在与间插入个正数，组成公比为的等比数列，故有，‎ 即， ‎