【数学】2019届一轮复习人教A版（理）不等式选讲与极坐标参数方程学案
【热点知识再梳理——胸有成竹】
热点一：不等式选讲 : xx ]
[1] |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
[2] 解含绝对值不等式的原则是去掉绝对值，转化为有理不等式再求解，一般有以下几种解法：
①公式法：利用|x|>a(或
0)去绝对值；
②零点分段法：利用绝对值定义去绝对值；
③平方法：利用|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)去绝对值；
④几何法：利用绝对值的几何意义求解．
⑤|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法．
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．
方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
[3]（1）证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法．
（2）含绝对值不等式的证法和技巧：
①含绝对值不等式的证明方法有：综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等．
②利用不等式的性质和含绝对值不等式的性质，放缩变换的方法是处理含绝对值不等式的常用方法之一．
③对于一般的含绝对值不等式不好入手，我们可采用分析法．
④对于不等式左右两边形式完全相同的，可联想函数性质，构造函数再用函数的单调性去证明．
[4]解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法
①将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决．
②借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
[5]不等式恒成立问题的常见类型及其解法
①分离参数法
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．
②更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
③数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)>m的解集为∅，则f(x)≤m恒成立．
1．【湖南省株洲市2018届高三年级教 质量统一检测】已知函数
(1)当时，求该函数的最小值；
(2) 解不等式：.
【答案】(1)3；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）根据绝对值不等式的性质即可求出函数最小值；（2）分区间讨论，去掉绝对值号，即可解出不等式；
2．【2018年衡水金卷调研卷】已知函数的最小值为（，，为正数）.
（1）求的最小值；
（2）求证：.
【答案】（1）36；（2）见解析.
【解析】试题分析：(1) 由题意，得，根据柯西不等式求出结果(2)由基本不等式得，代入证明结果
（2）∵，，，
∴ ，
∴. .
3．【湖北省荆州市2018届高三质量检查（III）】设不等式的解集为.
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）令，由得，解得，从而可得．（Ⅱ）转化变量可得不等式在恒成立，故得，解得，即为所求．
试题解析：[ : , , ]
（Ⅰ）令，
由得，
解得．
∴.
点睛：
（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．【广西南宁2017届二模】（1）解不等式；
（2）若满足（1）中不等式，求证： ．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）当时， ,
解得，所以.
当时， ,
解得
当时，
解得，所以
（2）证明：
5．【安徽省江淮十校2017届三模】已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）.
则当时，不成立；当时， ，解得；
当时， 成立，故原不等式的解集为.
6．【2017届内蒙古省百校联盟高三3月监测】已知函数.
（Ⅰ）记函数，在下列坐标系中作出函数的图象，并根据图象求出函数的最小值；
（Ⅱ）记不等式的解集为，若， ，且，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由题意得 ，
作出函数的图象如图所示，
观察可知，当时，函数有最小值，最小值为.
7．【吉林省梅河口市第五中 2018届高三下 期第二次模拟考试】已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.
【答案】（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）分，，和三种情况去掉绝对值，解不等式即可.
（2）由题存在，使得成立，即.又，由（1）可知，所以，可解得的取值范围.
（2）因为存在，使得成立，
所以.
又，
由（1）可知，，则
所以，解得.
故的取值范围为.
热点二：极坐标参数方程
[6] 关于极坐标系
(1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．
(2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π]时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．
欲求极坐标方程，一般先求直角坐标方程，再利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ转化为极坐标方程即可． [5]当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
[7] 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．
[8]直线的参数方程在交点问题中的应用
已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程(t为参数)．
(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.
(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.
(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.
[9]直线与圆锥曲线的参数方程的应用．
(1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
②定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M2M|及中点坐标)．
(2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．
8．【湖北省荆州市2018届高三质量检查（III）】在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.
（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】试题分析：[ : , , ,X,X, ]
（Ⅰ）先求得圆C的直角坐标方程，然后再化成极坐标方程，消去直线参数方程中的参数，可得普通方程．（Ⅱ）求得圆心到直线的距离，根据半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形求解得到，然后再求最小值．也可根据几何法直接求解．
试题解析：
（Ⅱ）法一：直线过圆内一定点，当时，有最小值，
∴.
法二：点到直线的距离，
∴ .
当时，有最小值. *
9．【2018年衡水金卷调研卷】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为，.
（1）将直线的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为参数方程；
（2）当时，直线与交于，两点，与交于，两点，求.
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）；（2）.[ : 。 。 ]
【解析】试题分析：(1)利用公式将直线的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为参数方程(2)利用参数求解两点之间的距离
解析：（1）由直线的参数方程（为参数），
得直线的极坐标方程为.
由曲线的极坐标方程，
得直角坐标方程为，
∴曲线的参数方程为（为参数）.
（2）当时，直线的极坐标方程为.
当时，，，
∴.
10．【2017届河北唐山市上期末】在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若射线分别交于两点， 求的最大值．
【答案】（1）：，：；（2）．
【解析】（1）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，
C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． …4分
11．【安徽省芜湖市、马鞍山市2017届高三5月模拟】已知直线的参数方程为: ,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线C的普通方程;
(2)在直角坐标系中,过点B(0,1)作直线的垂线,垂足为H,试以为参数,求动点H轨迹的参数方程,并指出轨迹表示的曲线.
【答案】（1）.（2）圆心在原点,半径为1的圆.
(2)∵直线的普通方程: ,又BH⊥,
∴直线BH的方程为,
由上面两个方程解得: ,
即动点H的参数方程为: 表示圆心在原点,半径为1的圆.
12．【广西南宁2017届二模】已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中， ），若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆相交于点（点不是原点）．
（1）求点的极坐标；
（2）设直线过线段的中点，且直线交圆于两点，求的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】 (1) 直线的倾斜角为,点的极角.
代入圆的极坐标方程得.
点的极坐标.
(2)由(1)得线段的中点的极坐标是,
的直角坐标为.
圆的极坐标方程为,
圆的直角坐标方程为.
13．【2017届陕西省咸阳市高三二模】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为： ，直线的参数方程是（为参数， ）．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．
【答案】（I） ;（II）.
【解析】（I）曲线,即,
于是有,
化为直角坐标方程为:
（II）方法1:
即
由的中点为得,有,所以
由 得
方法2:设,则
,
∵,∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得,
即
由得 ,因为 ,所以. *
14．【湖南省株洲市2018届高三统一检测（二）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；
(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.
试题解析：
（1）设曲线上任意一点经过坐标变化后得到，依题意：
所以：故曲线的标准方程为，极坐标方程为：
15．【湖南省益阳市2018届高三4月调研】在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆以极坐标系中的点为圆心，为半径.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）判断直线与圆之间的位置关系.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意，选将圆的极坐标转化为直角坐标，可得圆的标准方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，将圆的标准方程转化为极坐标方程，从面问题可得解；
（2）由可将直线的参数方程转化为一般方程，通计算圆心到直线的距离，将距离与半径进行比较，从而可得直线与圆的位置关系.
试题解析：（1）点化为直角坐标是，
故以点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是，
将，代入上式，
可得圆的极坐标方程是.
点睛：此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化，圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化，只消参即可，而及极坐标方程与直角坐标方程的互化，需要转化换公式来进行换算，从而问题可得解.
