江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题

江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题

江苏省泰州中学2021届高三第一次月度检测 一、单选题（在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 提示：对数的真数大于0，取交集.‎ ‎2．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．‎ A．1 B．0 C． D．‎ 答案：D 提示：代入验算.‎ ‎3．二项式的展开式中的常数项为（ ）．‎ A． B． C．6 D．‎ 答案：D 提示：‎ ‎4．已知向量,满足，且,，则与的夹角为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 提示：注意到数量关系，画图即可.‎ ‎5．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：D 提示：指数函数.‎ ‎6．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）．‎ A． ‎ B． C． D．‎ 答案：A 提示：体对角线 ‎7．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：B 提示：显然0不满足排除B，不满足排除CD，不满足排除A.‎ ‎8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ）．‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：B 提示：不满足排除D，含范围对称故选B.‎ 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合要求）‎ ‎9．关于双曲线：与双曲线：，下列说法正确的是（ ）．‎ A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等 答案：CD 提示：双曲线几何性质.‎ ‎10．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．‎ A．该函数的解析式为 B．该函数的对称中心为，‎ C．该函数的单调递增区间是，‎ D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象 答案：ACD 提示：三角图像的性质.‎ ‎11．若随机变量，，其中，下列等式成立有（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：AC 提示：正太分布的应用.‎ ‎12．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）．‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D．当时，‎ 答案：AD ‎ 解析：A．正确；因为令，在上是增函数，‎ ‎∴当时，，∴即．‎ B．错误；因为令，∴，‎ ‎∴时，，单调递增，时，，单调递减．‎ ‎∴与无法比较大小．‎ C．错误；因为令，，‎ ‎∴时，，在单调递减，‎ 时，，在单调递增，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 当时，∴，‎ ‎∴，∴．‎ D．正确；因为时，单调递增，又∵A正确，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故选AD．‎ 三、填空题（只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）‎ ‎13．已知点在抛物线：（）的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为______．‎ 答案：‎ 提示：‎ 14． 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是______．‎ 答案：‎ 提示：‎ 15． 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是______．‎ 答案：‎ 提示：‎ 14． 若实数，满足，则的最大值为______．‎ 答案： ‎ 解析：因为，，‎ ‎，设，，‎ 故原问题可转化为“已知，求的最大值”．‎ 又因为，‎ 所以的最大值为，当且仅当时取等号．‎ 故答案为：．‎ 四、解答题（评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在①，，且，②，③‎ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且______．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的最大值．‎ ‎【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18．设数列的前项和为，点，均在函数的图象上．‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎19．某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：‎ 等级 水平一 水平二 水平三 水平四 男生/名 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎6‎ 女生/名 ‎6‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎（1）根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？‎ 实践损伤能力较弱 实践损伤能力较强 合计 男生/名 女生/名 合计 ‎（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为，求的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中．‎ ‎20．如图，直三棱柱的侧棱长为4，，且，点，分别是棱，上的动点，且．‎ ‎（1）求证：无论点在何处，总有；‎ ‎（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的余弦值．‎ ‎21．如图，已知直线:（）关于直线对称的直线为，直线，与椭圆：分别交于点，和，，记直线的斜率为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．‎ ‎22．已知函数，，其中是自然对数的底数．‎ ‎（1）若函数的极大值为，求实数的值；‎ ‎（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 江苏省泰州中学2021届高三第一次月度检测 参考答案（数学）‎ 一、单选题 ‎1．A 2．B 3．D 4．D 5．D ‎6．A 7．B 8．B 二、多选题 ‎9．CD 10．ACD 11．AC ‎12．AD 【解析】解：‎ A．正确；因为令，在上是增函数，‎ ‎∴当时，，∴即．‎ B．错误；因为令，∴，‎ ‎∴时，，单调递增，时，，单调递减．‎ ‎∴与无法比较大小．‎ C．错误；因为令，，‎ ‎∴时，，在单调递减，‎ 时，，在单调递增，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 当时，∴，‎ ‎∴，∴．‎ D．正确；因为时，单调递增，又∵A正确，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故选AD．‎ 三、填空题 ‎13． 14． 15． ‎ ‎16． 【解析】因为，，‎ ‎，设，，‎ 故原问题可转化为“已知，求的最大值”．‎ 又因为，‎ 所以的最大值为，当且仅当时取等号．‎ 故答案为：．‎ 四、解答题 ‎17．【解析】（1）解：（1）选①∵，，且，‎ ‎∴．化简得，，‎ 由余弦定理得，又因为，∴．‎ 选②根据正弦定理，由得，‎ 又因为，所以，‎ 又因为，所以，又因为，所以．‎ 选③由，得，‎ 即，所以，‎ 又因为，所以，因此．‎ ‎（2）由余弦定理，得．‎ 又∵，∴，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，解得，，当且仅当时，等号成立．‎ ‎∴．∴的周长的最大值为12．‎ ‎18．【解析】解：（1）依题意得，即．当时，，‎ 当时，，∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 又，∴，解得或，即实数的取值范围为．‎ ‎19．【解析】（1）‎ 实践损伤能力较弱 实践损伤能力较强 合计 男生/名 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 女生/名 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 所以．‎ 所以有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．‎ ‎（2）的取值为0，1，2，3，4．‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以．‎ ‎20．【解析】解：根据题意，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则，，，，，．‎ ‎（1）证明：设（），则．得，，‎ 故，即总有．‎ ‎（2）易知，‎ 当且仅当时，取等号．‎ 此时，，则，．‎ 设平面的法向量为，则即 令，则，所以．‎ 同理可得平面的一个法向量．‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎21．【解析】（1）设直线上任意一点关于直线对称的点为，直线与直线的交点为，∴：，：，，，‎ 由，得，①‎ 由，得，②‎ 由①②得 ∴．‎ ‎（2）由得．设，，‎ ‎∴，．‎ 同理可得,，‎ ‎，‎ 直线：，即，‎ 即．‎ ‎∴当变化时，直线过定点．‎ alnx a（l-Inx）‎ ‎22．【解析】（1）因为，则，因为，所以，‎ 则当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ 所以当时，的极大值，解得；‎ ‎（2）由题意可知，对任意恒成立，‎ 整理得对任意恒成立，设，‎ 由（1）可知，在上单调递增，且当时，，‎ 当时，，若，则，‎ 若，因为，且在上单调递增，所以，‎ 综上可知，对任意恒成立，即，‎ 设，，则，所以单调递增，‎ 所以，即的取值范围为．‎