【数学】2018届一轮复习人教A版笔记三三角函数学案

【数学】2018届一轮复习人教A版笔记三三角函数学案

笔记三　三角函数 易错点15　忽视“隐含条件”‎ 典例15　设0<α<π,sin α+cos α=,求cos2α-sin2α的值.‎ ‎【错因分析】本题产生错误的原因是易忽视题干中的隐含条件“sin α,cos α”异号,而根据(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α得到cos α-sin α可取两个值的错误结论.‎ ‎【正确解答】因为sin α+cos α=,‎ 所以(sin α+cos α)2=,2sin α cos α=-.‎ 又因为0<α<π,‎ 所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0.‎ 因为(cos α-sin α)2=1-2sin α cos α=1+,‎ 所以cos α-sin α=-.‎ 故cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=-.‎ 易错点16　忽视对字母的分类讨论 典例16　设函数f(x)=asin+b(x∈R)的最大值为5,最小值为-1,求实数a,b的值.‎ ‎【错因分析】这里误认为asin的最大值是a,最小值是-a,忽视了对字母a取值的分类讨论,从而得出错误的结果:a=3,b=2.‎ ‎【正确解答】由题意可知a≠0.当a>0时,由题意,得a+b=5且-a+b=-1,解得a=3,b=2;当a<0时,应有-a+b=5且a+b=-1,解得a=-3,b=2.综上,a=3,b=2或a=-3,b=2.‎ 易错点17　忽视函数定义域的限制 典例17　函数y=的最小正周期为　　　　. ‎ ‎【错因分析】化简三角函数式之前,忽略了函数的定义域,直接根据化简结果y=tan 2x得出函数y=的最小正周期为的错误结果.‎ ‎【正确解答】要使函数有意义,需满足化简函数得y=‎ tan 2x,画出y=tan 2x,x≠kπ±且x≠kπ+,k∈Z的图象.根据图象可得y=的最小正周期为π.故填π.‎ 易错点18　忽视正、余弦函数的有界性 典例18　求函数y=(sin x-2)(cos x-2)的最大值和最小值.‎ ‎【错因分析】许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决,在换元时易忽略正、余弦函数的有界性,该题容易出现的问题是令sin x+cos x=t时,忽略了|t|≤.‎ ‎【正确解答】原函数可化为y=sin xcos x-2(sin x+cos x)+4.‎ 令sin x+cos x=t(|t|≤),则sin xcos x=,‎ ‎∴y=-2t+4=(t-2)2+.‎ ‎∵t∈[-],且函数在[-]上为减函数,‎ ‎∴当t=,即x=2kπ+(k∈Z)时,ymin=-2;‎ 当t=-,即x=2kπ-(k∈Z)时,ymax=+2.‎ 易错点19　忽视复合函数的单调性 典例19　求函数y=cos的单调递增区间.‎ ‎【错因分析】令z=-x,则y=cos z.由于z=-x是减函数,所以y=cos z的单调递增区间是复合函数y=cos的单调递减区间.该题容易出现的问题是由y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,得出y=cos的单调递增区间为2kπ-π≤-x≤2kπ,从而得出-2kπ+≤x≤-2kπ+,k∈Z的错误结果.这里因忽视复合函数的单调性致错,这种错误常常出现,要引起注意.‎ ‎【正确解答】因为y=cos=cos,所以y=cos的单调递增区间即为y=cos的单调递增区间,即2kπ-π≤x-≤2kπ,解得2kπ-≤x≤2kπ+.因此函数y=cos的单调递增区间是,k∈Z.‎ 求解三角函数的单调区间时,应先将自变量的系数化为正数,否则容易出错.‎ 易错点20　图象平移变换的方向与距离把握不准 典例20　若将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan(ω>0)的图象重合,则ω的最小值为　　　　. ‎ ‎【错因分析】在对图象进行平移或伸缩时,都是只针对x本身而言的,平移只是在x本身加上(或减去)某个值,伸缩只是给x本身乘以某个值,与其他量无关.本题我们容易在ωx上减去,而正确的方法是在x上减去.‎ ‎【正确解答】y=tany=tan=tan,因此ω=+kπ(k∈Z),解得ω=-6k(k∈Z),又∵ω>0,∴ωmin=.‎ 易错点21　三角恒等变换忽视角的范围 典例21　在△ABC中,如果4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=3,则∠C的大小是 (　　)‎ A.30° B.150°‎ C.30°或150° D.60°或120°‎ ‎【错因分析】 造成错解的原因是对于三角形这个条件的忽视,此题若没有“在△ABC中”这个条件,则选项C是正确的,但多了这个条件就有了限制,如从第一个等式4sin A+2cos B=1中可得,cosB <,那么∠B>60°,这样∠C不可能超过120°,因此150°要舍去.‎ ‎【正确解答】对上面两式进行平方相加可得16+4+16 sin(A+B)=28,所以sin(A+B)=,所以A+B=30°或150°,所以∠C的大小是30°或150°,但从第一个等式4 sinA+2 cosB=1中可得cos B<,那么B>60°,这样∠C不可能超过120°,因此150°要舍去.因此∠C的大小是30°.故选A.‎ 易错点22　解三角形时忽视对解的讨论 典例22　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=.‎ ‎(1)若∠C=,求∠A;‎ ‎(2)若∠A=,求b的值.‎ ‎【错因分析】第(1)问易出现多解的错误,由已知条件求得sin A=,即可得出∠A=或∠A=,没有考虑c>a;第(2)问易出现漏解的错误,由sin C=,只得出∠C=,漏了∠C=.‎ ‎【正确解答】(1)由正弦定理得,‎ 所以sin A=,即∠A=或∠A=.‎ 又c>a,‎ 所以∠A<∠C,故∠A=.‎ ‎(2)由正弦定理得,‎ 所以sin C=,所以∠C=或∠C=.‎ 当∠C=时,∠B=,可得b=2;当∠C=时,∠B=,可得b=1.‎