2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业:模块综合评估2

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文档介绍

2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业:模块综合评估2

模块综合评估(二) 时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知扇形面积为3π 8 ,半径是 1,则扇形的圆心角是( C ) A.3π 16 B.3π 8 C.3π 4 D.3π 2 解析:S 扇=1 2αr2=1 2 ×α×12=3π 8 ,∴α=3π 4 . 2.已知锐角α的终边上一点 P(sin40°,1+cos40°),则锐角α= ( B ) A.80° B.70° C.20° D.10° 解 析 : 点 P 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 sin240°+1+cos40°2 = 2+2cos40°= 2+2×2cos220°-1=2cos20°,由三角函数的定义可 知 cosα= sin40° 2cos20° =2sin20°cos20° 2cos20° =sin20°.∵点 P 在第一象限,且角α 为锐角,∴α=70°.故选 B. 3.若α,β的终边关于 y 轴对称,则下列等式正确的是( A ) A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.sinα=cosβ 解析:因为α,β的终边关于 y 轴对称,所以β=2kπ+π-α,k∈ Z,sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα. 4.在△ABC 中,AB→=c,AC→=b.若点 D 满足BD→ =2DC→ ,则AD→ = ( A ) A.2 3b+1 3c B.5 3c-2 3b C.2 3b-1 3c D.1 3b+2 3c 解析:由题意得AD→ -AB→=2(AC→-AD→ ),则 3AD→ =AB→+2AC→=c+ 2b,所以AD→ =1 3c+2 3b. 5.设角α=-35π 6 ,则 2sinπ+αcosπ-α-cosπ+α 1+sin2α+sinπ-α-cos2π+α 的值等于 ( D ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 解析:因为α=-35π 6 ,所以 2sinπ+αcosπ-α-cosπ+α 1+sin2α+sinπ-α-cos2π+α = 2sinαcosα+cosα 1+sin2α+sinα-cos2α =2sinαcosα+cosα 2sin2α+sinα =cosα sinα = cos -35π 6 sin -35π 6 = cosπ 6 sinπ 6 = 3.故选 D. 6.为了得到函数 y= 3sin2x-cos2x 的图像,只需把函数 y= 4sinxcosx 的图像( A ) A.向右平移 π 12 个单位长度 B.向左平移 π 12 个单位长度 C.向左平移π 6 个单位长度 D.向右平移π 6 个单位长度 解析:y= 3sin2x-cos2x=2sin 2x-π 6 =2sin 2 x- π 12 ,y= 4sinxcosx=2sin2x,故只需将 y=4sinxcosx 的图像向右平移 π 12 个单位 长度即可. 7.如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则AO→ ·BC→ 的值是 ( D ) A.-8 B.-1 C.1 D.8 解析:取 BC 的中点 D,连接 AD,OD,则有 OD⊥BC.AD→ =1 2(AB→ +AC→),BC→=AC→-AB→,AO→ ·BC→=(AD→ +DO→ )·BC→=AD→ ·BC→ +DO→ ·BC→ = AD→ ·BC→=1 2(AB→+AC→)·(AC→-AB→)=1 2(AC→ 2-AB→ 2)=1 2 ×(52-32)=8,故选 D. 8.已知向量 a 的同向的单位向量为 a0= - 3 2 ,1 2 ,若向量 a 的 起点坐标为(1,-2),模为 4 3,则 a 的终点坐标是( A ) A.(-5,2 3-2) B.(1-2 3,4) C.(-5,2 3-2)或(7,-2-2 3) D.(1-2 3,4)或(1+2 3,-6) 解析:设 a 的终点 B 的坐标为(x,y),则 a=(x-1,y+2).又 a =4 3a0=(-6,2 3),所以 B(-5,2 3-2). 9.函数 y= cos x+π 4 +sin x+π 4 cos x+π 4 -sin x+π 4 在一个周 期内的图像是( B ) 解析:y= 2 2 cosx- 2 2 sinx+ 2 2 sinx+ 2 2 cosx · 2 2 cosx- 2 2 sinx- 2 2 sinx- 2 2 cosx = 2cosx·(- 2sinx)=-2sinxcosx =-sin2x,故选 B. 10.如果将函数 f(x)=sin2x 图像向左平移φ(φ>0)个单位长度,将 函数 g(x)=cos 2x-π 6 图像向右平移φ个单位长度后,二者能够完全重 合,则φ的最小值为( C ) A.π 3 B.2π 3 C. π 12 D.5π 12 解析:将函数 f(x)=sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到 y=sin[2(x+φ)]=sin(2x+2φ)的图像,将函数 g(x)=cos 2x-π 6 图像向 右 平 移 φ 个 单 位 长 度 后 , 可 得 函 数 y = cos 2x-φ-π 6 = cos 2x-2φ-π 6 = sin π 2 - 2x-2φ-π 6 = sin 2π 3 -2x+2φ = sin 2x-2φ+π 3 的图像.二者能够完全重合,由题意可得,2x+2φ= 2x-2φ+π 3 +2kπ,k∈Z,解得φ=1 2kπ+ π 12(k∈Z).由于φ>0,故当 k =0 时,φmin= π 12.故选 C. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案 填写在题中横线上) 11.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4, y)是角θ终边上一点,且 sinθ=-2 5 5 ,则 y=-8. 解析:r= x2+y2= 16+y2,∵sinθ=-2 5 5 ,∴sinθ=y r = y 16+y2 =-2 5 5 ,解得 y=-8 或 y=8(舍去). 12.若函数 f(x)=asin2x+btanx+1,且 f(-3)=5,则 f(π+3)= -3. 解析:显然 T=π,f(π+3)=f(3).F(x)=f(x)-1=asin2x+btanx 为奇函数,则 F(-3)=f(-3)-1=4,F(3)=f(3)-1=-4,f(3)=-3. 13.若向量 a 与 b 不共线,a·b≠0,且 c=a-a·a a·bb,则向量 a 与 c 的夹角为 90°. 解析:∵a·c=a·a-a·a a·b(b·a)=a·a-a·a=0,∴a⊥c,即 a 与 c 的 夹角为 90°. 14.已知点 P(cosα,sinα)在直线 y=2x 上,则 cos2α sinα-cosα2 =- 3. 解析:由点 P(cosα,sinα)在直线 y=2x 上可知,tanα=2.则 cos2α sinα-cosα2 = cos2α-sin2α sin2α+cos2α-2sinαcosα = 1-tan2α tan2α+1-2tanα = 1-4 4+1-4 =-3. 15.给出下列四个命题: ①函数 y=tanx 的图像关于点 kπ+π 2 ,0 (k∈Z)对称;②函数 f(x) =sin|x|是最小正周期为π的周期函数;③设θ为第二象限的角,则 tanθ 2>cosθ 2 ,且 sinθ 2>cosθ 2 ;④函数 y=cos2x+sinx 的最小值为-1. 其中正确命题的序号是①④. 解析:①由正切曲线知点(kπ,0)(k∈Z), kπ+π 2 ,0 (k∈Z)都是 正切函数图像的对称中心,故正确.②f(x)=sin|x|不是周期函数,故 错误.③∵θ∈ π 2 +2kπ,π+2kπ ,k∈Z,∴θ 2 ∈ kπ+π 4 ,kπ+π 2 ,k∈ Z.当 k=2n+1,n∈Z 时,sinθ 20,ω>0,|φ|<π) 的一段图像如图所示. (1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间. 解:(1)由图像可知 A=2,T 2 =3π 8 - -π 8 =π 2 ,所以 T=π,ω=2. 所以 y=2sin(2x+φ),将点 -π 8 ,2 代入得-π 4 +φ=2kπ+π 2(k∈ Z),|φ|<π,所以φ=3 4π. 所以函数的解析式为 y=2sin 2x+3π 4 . (2)由 2kπ-π 2 ≤2x+3π 4 ≤2kπ+π 2 ,得 kπ-5π 8 ≤x≤kπ-π 8(k∈Z). 所以函数 y=2sin 2x+3π 4 的单调递增区间为 kπ-5π 8 ,kπ-π 8 (k ∈Z). 19.(本小题 12 分)设函数 f(x)=a·(b+c),其中向量 a=(sinx,- cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)将函数 y=f(x)的图像按向量 d 平移,使平移后的图像关于坐 标原点中心对称,求长度最小的 d. 解:由题意得 f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx- 3cosx)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x =2+cos2x-sin2x=2+ 2sin 2x+3 4π . (1)函数 f(x)的最大值为 2+ 2,最小正周期是 T=2π 2 =π. (2)由 sin 2x+3 4π =0,得 2x+3π 4 =kπ,k∈Z,即 x=kπ 2 -3π 8 ,k ∈Z. 于是 d= 3π 8 -kπ 2 ,-2 (k∈Z),|d|= kπ 2 -3π 8 2+4(k∈Z). 因为 k 为整数,所以要使|d|最小,只要 k=1,此时 d= -π 8 ,-2 . 20.(本小题 13 分)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<π 2 的部分图 像如图所示,该图像与 y 轴交于点 F(0, 2),与 x 轴交于点 B、C, 点 M 为最高点,且△MBC 的面积为π. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f α-π 4 =2 5 5 ,α∈ 0,π 2 ,求 cos 2α+π 4 的值. 解:(1)由题意知点 M 的纵坐标为 2,所以 S△MBC=1 2 ×2×BC= BC=π,∴最小正周期 T=2π=2π ω ,∴ω=1. 由 f(0)=2sinφ= 2得 sinφ= 2 2 .∵0<φ<π 2 ,∴φ=π 4 ,∴函数 f(x)的 解析式为 f(x)=2sin x+π 4 . (2)由 f α-π 4 =2sinα=2 5 5 ,得 sinα= 5 5 . ∵α∈ 0,π 2 ,∴cosα= 1-sin2α=2 5 5 ,∴cos2α=2cos2α-1=3 5 , sin2α=2sinαcosα=4 5 , ∴cos 2α+π 4 =cos2αcosπ 4 -sin2αsinπ 4 =3 5 × 2 2 -4 5 × 2 2 =- 2 10. 21.(本小题 14 分)已知向量 a=( 3sin2x,cos2x),b=(cos2x, -cos2x). (1)若 x∈ 7π 24 ,5π 12 时,a·b+1 2 =-3 5 ,求 cos4x 的值; (2)若 cosx≥1 2 ,x∈(0,π),方程 a·b+1 2 =m 有且仅有一个实数根, 求实数 m 的值. 解:(1)∵a·b= 3sin2xcos2x-cos22x, ∴a·b+1 2 = 3sin2xcos2x-cos22x+1 2 = 3 2 sin4x-1+cos4x 2 +1 2 = 3 2 sin4x-1 2cos4x=sin 4x-π 6 =-3 5. ∵x∈ 7 24π, 5 12π ,∴4x∈ 7 6π,5 3π ,4x-π 6 ∈ π,3 2π ,∴cos 4x-π 6 =-4 5 , ∴cos4x=cos 4x-π 6 +π 6 =cos 4x-π 6 cosπ 6 -sin 4x-π 6 sinπ 6 = -4 5 × 3 2 - -3 5 ×1 2 =3-4 3 10 . (2)∵cosx≥1 2 ,y=cosx 在(0,π)上是减函数,∴0
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