【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版7-3一元二次不等式及其解法学案
§7.3 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
1.一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2
(x1
0
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？
提示 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．
( √ )
题组二 教材改编
2．已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于( )
A．{x|－23}
D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
答案 B
解析 ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．
故选B.
3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
答案 ∪
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
题组三 易错自纠
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案 (－4，1)
解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－40的解集是，则a＋b＝________.
答案 －14
解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2，2] C．(－2，2) D．(－∞，2)
答案 B
解析 ∵∴－20}，
∴ A∩B＝{x|00)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解为1时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
解 当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－40时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
引申探究
1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解 若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，又x∈[1，3]，
得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．
2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？
解 由题意知f(x)<5－m有解，
即m<有解，则m0的解集为{x|－10的解集为( )
A. B.
C．{x|－21}
答案 A
解析 ∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，解得x<－1或x>，故选A.
3．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3，0) B．[－3，0] C．[－3，0) D．(－3，0]
答案 A
解析 由题意可得
解得－3x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2，4]
使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.
5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
答案 B
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
答案 A
解析 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.
7．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－1，3] D．[－2，4]
答案 C
解析 因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1a≥－1，
所以实数a的取值范围是a∈[－1，3]，故选C.
8．设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 当a0)的解集为________．
答案 {x|－a0，∴－a<3a，不等式的解集为{x|－a的解集为________．
答案 (－1，0)∪(1，＋∞)
解析 当x>0时，原不等式等价于x2>1，解得x>1；当x<0时，原不等式等价于x2<1，解得－1的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．
11．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
答案 (－4，0)
解析 因为x2－ax－a>0的解集为R，
所以Δ＝(－a)2－4(－a)<0，解得－40，求实数a的取值范围．
解 设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，
当Δ＝4(a－2)2－4a<0时，
即10 对x∈R恒成立；
当a＝1时，f(－1)＝0，不合题意；
当a＝4时，f(2)＝0 符合题意；
当Δ>0 时，由即
即40；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
解 (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解 (1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，
即2x2＋bx＋c<0的解集是(0，5)，
∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系知，－＝5，＝0，
∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
∴2x2－10x＋t－2在x∈[－1，1]上的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，x∈[－1，1]，
则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1，1]上为减函数，
∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10.
