2020届二轮复习数列中项数问题学案（全国通用）

2020届二轮复习数列中项数问题学案（全国通用）

‎ 专题16 数列中项数问题 数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．‎ 类型一 整数解问题 典例1. 已知集合，,．对于数列，，且对于任意，，有．记为数列的前项和.‎ ‎(Ⅰ)写出，的值；‎ ‎(Ⅱ)数列中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ)数列中，对于任意，存在，有.求使得成立的的最小值．‎ ‎【答案】(1) =8, =9 (2) (3)57‎ ‎【解析】‎ ‎（I）‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为，且对于任意，，‎ 所以. ‎ ‎（II）对于任意，，有，‎ 所以对于任意，，有，‎ 即数列为单调递增数列.‎ 因为对于任意，存在，使，‎ 所以┅┅．‎ 因为，，所以对于任意，有，，，所以，当时，有，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…………‎ ‎，‎ 所以当时，‎ 有，‎ 所以.‎ 又，，‎ 数列的通项公式为：. ‎ ‎（III）若，，有，‎ 令，，解得，即，‎ 得，其中表示不超过的最大整数，‎ 所以.‎ ‎=，‎ 依题意，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎.‎ 当时，即时，，不合题意；‎ 当时，即时，，不合题意；‎ 当时，即时，，不合题意；‎ 当时，即时，，不合题意；‎ 当时，即时，，不合题意；‎ 当时，即时，‎ 由 此时，.‎ 而时，.所以.‎ 又当时，；‎ 所以.‎ 综上所述，符合题意的的最小值为 类型二 存在性问题 典例2已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．‎ ‎（1）求a1； ‎ ‎（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；‎ ‎（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1

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