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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版(文)27直线与平面的平行与垂直作业
天天练27 直线与平面的平行与垂直 小题狂练 一、选择题 1.[2019·湖北省重点中学一联]设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β 答案:D 解析:选项A,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则可能m⊥n,m∥n,或m,n异面,故A错误;选项B,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n,或m,n异面,故B错误;选项C,若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,平行,或垂直,故C错误;选项D,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,因此D正确.故选D. 2.有下列命题: ①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b∥α,则a∥α;④若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A 解析:命题①,l可以在平面α内,不正确;命题②,直线a与平面α可以是相交关系,不正确;命题③,a可以在平面α内,不正确;命题④正确. 3.[2019·泉州质检]已知直线a,b,平面α,β,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β ”是“α∥β ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:因为直线a,b不一定相交,所以a∥β,b∥β不一定能够得到α∥β;而当α∥β时,a∥β,b∥β一定成立,所以“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件. 4.已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 答案:B 解析:连接AC,A1C1,设D1E与平面AA1C1C相交于点M,在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N,由C1F与D1E为异面直线知MN唯一,且MN⊥平面ABCD,故选B. 5.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是( ) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 答案:C 解析:由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC,A正确;由BC⊥PA,BC⊥AC,FA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,BC⊥PC,即B,D正确. 6.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有( ) A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 答案:C 解析:如图,过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D,E,F,G分别为三棱柱棱的中点),易知经过D,E,F,G中任意两点的直线共有C=6条,故选C. 7.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以=.因为AD∥BC,AD=BC,E为AD的中点,所以==,所以=. 8.[2019·四川资阳模拟]在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=120°,AB=AC=1,PA=,则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:如图,∵PA⊥底面ABC,∴∠PAB=∠PAC=90°.又AB=AC=1,PA=,∴△PAB≌△PAC(SAS),∴PB=PC. 取BC中点D,连接AD,PD,∴PD⊥BC,AD⊥BC,∴BC⊥平面PAD. ∴平面PAD⊥平面PBC. 过点A作AO⊥PD于点O,可得AO⊥平面PBC, ∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成的角. 在Rt△PAD中,AD=ABsin30°=,PA=,PD==, sin∠APD==.故选D. 二、非选择题 9.[2019·杭州模拟]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF=________. 答案: 解析:根据题意,因为EF∥平面AB1C,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1,故EF=. 10.已知α,β表示两个不同的平面,m,n表示两条不同的直线,且m⊥β,α⊥β,给出下列四个结论: ①∀n⊂α,n⊥β;②∀n⊂β,m⊥n;③∃n⊂α,m⊥n. 则上述结论正确的为______.(写出所有正确结论的序号) 答案:②③ 解析:由于m⊥β,α⊥β,所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α,则n ⊂β或n∥β或n与β相交,所以①不正确;∀n⊂β,则由直线与平面垂直的性质定理,知m⊥n,②正确;当m⊂α或m∥α时,∃n⊂α,m⊥n,③正确. 11.[2019·青岛模拟]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一) 解析:如图,连接AC,∵四边形ABCD的各边都相等,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时,有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD. 12.[2019·河北定州中学模拟]如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上). ①AG⊥△EFH的在平面;②AH⊥△EFH所在平面; ③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面. 答案:①③④ 解析:根据条件AH⊥HE,AH⊥HF,所以AH⊥平面EFH ,故AG不可能垂直平面EFH,所以①错误;②正确;③若HF⊥△AEF所在平面,则HF⊥AF,显然一个三角形中不能有两个直角,错误;④若HG⊥△AEF所在平面,则△AHG中有两个直角,错误,故填①③④. 课时测评 一、选择题 1.[2019·重庆六校联考]设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 答案:D 解析:对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件;同理,选项B,C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D. 2.[2019·河北武邑月考]如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是( ) A.PB⊥AC B.PD⊥平面ABCD C.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD 答案:B 解析:如图,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO. ∵在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形, ∴AO⊥PB,CO⊥PB. ∵AO∩CO=O,∴PB⊥平面AOC. ∵AC⊂平面AOC,∴PB⊥AC,故A成立. 对于选项B,∵AC⊥BD,AC⊥PB,BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD. 设AC∩BD=M,连接PM,则PM⊥AC,∴PD与AC不垂直. 对于选项C,∵PB⊥平面AOC,AC⊂平面AOC,∴AC⊥PB. ∵AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD, ∵PD⊂平面PBD,∴AC⊥PD,故C成立. 对于选项D,∵AC⊥平面PBD,AC⊂平面ABCD, ∴平面PBD⊥平面ABCD,故D成立,故选B. 3.[2019·长沙模拟]如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2),在折起的过程中,下列说法错误的是( ) A.AC∥平面BEF B.B、C、E、F四点不可能共面 C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD D.平面BCE与平面BEF可能垂直 答案:D 解析:A选项,连接BD,交AC于点O,取BE的中点M,连接OM,FM,易证四边形AOMF是平行四边形,所以AO∥FM,因为FM⊂平面BEF,AC⊄平面BEF,所以AC∥平面BEF;B选项,若B、C、E、F四点共面,因为BC∥AD,所以BC∥ 平面ADEF,可推出BC∥EF,又BC∥AD,所以AD∥EF,矛盾;C选项,连接FD,在平面ADEF内,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF,所以EF⊥CD,又CD⊥AD,EF与AD相交,所以CD⊥平面ADEF,所以平面ADEF⊥平面ABCD;D选项,延长AF至G,使AF=FG,连接BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE,若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾.综上,选D. 4.[2019·湖北八校联考]如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ACD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BCD D.平面ACD⊥平面ABD 答案:D 解析:由题意可知,AD⊥AB,AD=AB,所以∠ABD=45°,故∠DBC=45°,又∠BCD=45°,所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD. 5.[2019·荆州模拟]如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,点E,F,H,K分别为AC′,CB′,A′B′,B′C′的中点,G为△ABC的重心.从K,H,G,B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为( ) A.K B.H C.G D.B′ 答案:C 解析:取A′C′的中点M,连接EM,MK,KF,EF,则EM綊CC′綊KF,得四边形EFKM为平行四边形,若P=K,则AA′∥BB′∥CC′∥KF,故与平面PEF平行的棱超过2条;HB′∥MK⇒HB′∥EF,若P=H或P=B′,则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面,与平面EFB′A′平行的棱只有AB,不满足条件;连接BC′,则EF∥A′B′∥AB,若P=G,则AB,A′B′与平面PEF平行.故选C. 6.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是( ) A.当AE⊥PB时,△AEF一定是直角三角形 B.当AF⊥PC时,△AEF一定是直角三角形 C.当EF∥平面ABC时,△AEF一定是直角三角形 D.当PC⊥平面AEF时,△AEF一定是直角三角形 答案:B 解析:由PA⊥底面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB,BC⊥AE.又AE⊥PB,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,故A正确;当EF∥平面ABC时,因为EF⊂平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC,故EF⊥平面PAB,AE⊥EF,故C正确;当PC⊥平面AEF时,PC⊥AE,又BC⊥AE,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,故D正确.故选B. 7.[2019·广西南宁模拟]已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,若球O的体积为π,则直线PC与平面PAB所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:如图,设△ABC的中心为E,M为AB的中点,过球心O作OD⊥PA,则D为PA的中点.由题意可得CM⊥平面PAB,∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成的角. ∵△ABC是边长为2的等边三角形, ∴OD=AE=CM=. ∵π·OP3=, ∴OP=,∴PA=2PD=2=. ∴PM==. ∴tan∠CPM==.故选A. 8. 如图,在以角C为直角顶点的三角形ABC中,AC=8,BC=6,PA⊥平面ABC,F为PB上的点,在线段AB上有一点E,满足BE=λAE.若PB⊥平面CEF,则实数λ的值为( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:∵PB⊥平面CEF,CE⊂平面CEF,∴PB⊥CE,又PA⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,∴PA⊥CE,而PA∩PB=P, ∴CE⊥平面PAB,∴CE⊥AB,∴λ====. 二、非选择题 9. 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,且A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________. 答案:MN∥平面BB1C1C 解析:如图,连接AM并延长,交BB1的延长线于点P,连接CP, 则由已知可得AA1∥BB1,所以==,又=,所以==,所以MN∥PC,故有MN∥平面BB1C1C. 10.[2019·黄冈质检]如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________. 答案:①②③ 解析:①由于PA⊥平面ABC,因此PA⊥BC,又AC⊥BC,因此BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF,由于PC⊥AF,因此AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB;②因为AE⊥PB,AF⊥PB,所以PB⊥平面AEF,因此EF⊥PB;③在①中已证明AF⊥BC;④若AE⊥平面PBC,由①知AF⊥平面PBC,由此可得出AF∥AE,这与AF,AE有公共点A矛盾,故AE⊥平面PBC不成立.故正确的结论为①②③. 11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1. 又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F, 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1. 又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1, 所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.查看更多