【数学】2018届一轮复习人教A版 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎ [学生用书P68]‎ ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin_αcos__β±cos_αsin__β;‎ cos(α∓β)=cos_αcos__β±sin_αsin__β;‎ tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos__α;‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ tan 2α=.‎ ‎3.三角公式关系 ‎1.两角差余弦公式的推导过程 如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则 =(cos α,sin α),=(cos β,sin β).‎ 由向量数量积的坐标表示,有 ·=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)‎ ‎=cos αcos β+sin αsin β.‎ 设与的夹角为θ,则 ·=||·||cos θ=cos θ ‎=cos αcos β+sin αsin β.‎ 另一方面,由图(1)可知,α=2kπ+β+θ;‎ 由图(2)可知,α=2kπ+β-θ.‎ 于是α-β=2kπ±θ,k∈Z.‎ 所以cos(α-β)=cos θ.‎ 即cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.‎ ‎2.辨明两个易误点 ‎(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.‎ ‎(2)在(0,π)范围内,sin(α+β)=所对应的角α+β不是唯一的.‎ ‎3.有关公式的逆用及变形用 ‎(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);‎ ‎(2)cos2α=,sin2α=;‎ ‎(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=sin.‎ ‎4.角的变换技巧 α=(α+β)-β;‎ α=β-(β-α);‎ α=[(α+β)+(α-β)];‎ β=[(α+β)-(α-β)];‎ +α=-.‎ ‎1. 已知cos α=-,α是第三象限角,则cos为(  )‎ A.           B.- C. D.- ‎ A [解析] 因为cos α=-,α是第三象限的角,‎ 所以sin α=-=- ‎=-,‎ 所以cos=cos cos α-sin sin α ‎=×-×=.‎ ‎2. 化简cos 18°cos 42°-cos 72°·sin 42°的值为(  )‎ A. B. C.- D.- ‎ B [解析] 法一:原式=cos 18°cos 42°-sin 18°·sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=.‎ 法二:原式=sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°‎ ‎=sin(72°-42°)=sin 30°=.‎ ‎3.已知tan=,tan=,则tan(α+β)的值为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎ D [解析] tan(α+β)=tan ‎===1.‎ ‎4.已知sin=,则sin 2x=________.‎ ‎[解析] 因为sin=,所以cos x-sin x=,所以cos x-sin x=,则1-sin 2x= ‎,‎ 所以sin 2x=.‎ ‎[答案] ‎5.sin 15°+sin 75°的值是________.‎ ‎[解析] sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.‎ ‎[答案] ‎ 三角函数公式的直接应用[学生用书P69]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2017·贵阳市监测考试)已知α∈,sin α=,则tan=(  )‎ A.-          B. C. D.- ‎(2)(2017·广州市综合测试(一))已知f(x)=sin,若sin α=,则f=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎【解析】 (1)因为α∈,所以cos α=-,所以tan α=-,所以tan===.‎ ‎(2)因为sin α=,所以cos α=-,所以f=sin=sin=sin α+cos α=-.‎ ‎【答案】 (1)C (2)B 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1.(2017·湖南省东部六校联考)设α为锐角,若cos=,则sin的值为(  )‎ A. B. C.- D.- ‎ B [解析] 因为α为锐角,cos=>0,所以α+为锐角,sin==,所以sin=2sincos=,故选B.‎ ‎2.已知tan=,则tan=(  )‎ A.-2 B.2‎ C.-4 D.4‎ ‎ C [解析] 因为tan==,‎ 所以tan===-4.故选C.‎ ‎ 三角函数公式的活用(高频考点)[学生用书P70]‎ 三角函数公式的活用是高考的热点,高考多以选择题或填空题的形式出现,解答题中研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式.‎ 高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度:‎ ‎(1)两角和与差公式的逆用及变形应用;‎ ‎(2)二倍角公式的活用.‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2015·高考重庆卷)若tan α=2tan,则=(  )‎ A.1            B.2‎ C.3 D.4‎ ‎(2)求值:=________.‎ ‎【解析】 (1)因为cos=cos ‎=sin,‎ 所以原式== ‎=.‎ 又因为 tan α=2tan,所以原式==3.‎ ‎(2)原式= ‎= ‎= ‎==-4.‎ ‎【答案】 (1)C (2)-4 三角函数公式的应用技巧 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.‎ 公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用 ‎1.已知cos+sin α=,则sin的值是________.‎ ‎[解析] 由cos+sin α=,可得cos α+sin α+sin α=,即sin α+cos α=,所以sin=,sin=,‎ 所以sin=-sin=-.‎ ‎[答案] - ‎2.若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________.‎ ‎[解析] -1=tan=tan(α+β)=,‎ 所以tan αtan β-1=tan α+tan β.‎ 所以1-tan α-tan β+tan αtan β=2,‎ 即(1-tan α)(1-tan β)=2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎ 角度二 二倍角公式的活用 ‎3.化简·sin 2α-2cos2α=(  )‎ A.cos2α B.sin2α C.cos 2α D.-cos 2α ‎ D [解析] 原式=·sin αcos α-2cos2α=(sin2α+cos2α)-2cos2α=1-2cos2α=-cos 2α.‎ ‎ 角的变换[学生用书P70]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2017·深圳一模)若α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,则cos β=(  )‎ A.            B. C.或- D.或 ‎(2)(2017·六盘水质检)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α、β∈,则cos(α-β)的值等于(  )‎ A.- B. C.- D. ‎【解析】 (1)因为α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,所以sin α=,cos(α-β)=,从而cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=,故选A.‎ ‎(2)因为α∈,所以2α∈(0,π).‎ 因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,‎ 所以sin 2α==,‎ 而α,β∈,所以α+β∈(0,π),‎ 所以sin(α+β)==,‎ 所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]‎ ‎=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)‎ ‎=×+×=.‎ ‎【答案】 (1)A (2)D ‎ 若本例(2)条件不变,求cos 2β的值.‎ ‎[解] 因为cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,所以α+β∈(0,π),‎ 所以sin α=,sin(α+β)=,‎ cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ 所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=.‎ 角的变换技巧 ‎(1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;‎ ‎(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1.已知tan(α+β)=1,tan=,则tan 的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ B [解析] tan=tan===.‎ ‎2.已知cos(α-β)=,sin β=-,且α∈,β∈,则sin α=(  )‎ A. B. C.- D.- ‎ A [解析] 因为β∈,sin β=,‎ 所以cos β=.‎ 又因为α-β∈(0,π),cos(α-β)=,‎ 所以sin(α-β)=,‎ 所以sin α=sin[(α-β)+β]‎ ‎=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β ‎=.‎ ‎ [学生用书P276(独立成册)]‎ ‎1.(2017·陕西西安质检)sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=(  )‎ A.1           B. C. D.- ‎ B [解析] sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=sin 45°·cos 15°+(-cos 45°)sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=.‎ ‎2.已知sin 2α=,则cos2=(  )‎ A. B.- C. D.- ‎ C [解析] cos2====,故选C.‎ ‎3.(2017·武汉市武昌区调研)已知cos(π-α)=,且α为第三象限角,则tan 2α的值等于(  )‎ A. B.- C. D.- ‎ C [解析] 因为cos α=-,且α为第三象限角,所以sin α=-,tan α=,tan 2α===,故选C.‎ ‎4.(2017·兰州市实战考试)sin 2α=,0<α<,则cos的值为(  )‎ A.- B. C.- D. ‎ D [解析] cos==sin α+cos α,又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,0<α<,所以sin α+cos α=,故选D.‎ ‎5.(2017·东北四市联考(二))已知sin=cos,则cos 2α=(  )‎ A.1 B.-1‎ C. D.0‎ ‎ D [解析] 因为sin=cos,所以cos α-sin α=cos α-sin α,即sin α=-cos α,所以tan α==-1,所以cos 2α=cos2α-sin2α===0.‎ ‎6.已知sin=,则cos的值是(  )‎ A. B. C.- D.- ‎ D [解析] 因为sin=,‎ 所以cos=cos ‎=1-2 sin2=,‎ 所以cos=cos ‎=cos=-cos=-.‎ ‎7.已知cos=sin,则tan α=________.‎ ‎[解析] 因为cos=sin,‎ 所以cos αcos -sin αsin=sin αcos-cos αsin,‎ 所以tan α=1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎8.已知sin(α-45°)=-,0°<α<90°,则cos α=________.‎ ‎[解析] 因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,‎ 所以cos(α-45°)==,‎ 所以cos α=cos[(α-45°)+45°]‎ ‎=cos(α-45°)cos 45°-sin(α-45°)sin 45°‎ ‎=.‎ ‎[答案] ‎9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin=________.‎ ‎[解析] 依题意可将已知条件变形为 sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.‎ 又β是第三象限角,因此有cos β=-.‎ sin=-sin(β+)=-sin βcos -cos βsin =.‎ ‎[答案] ‎10.(2017·河北衡水中学二调)若tan α+=,α∈,则sin+2coscos2α的值为________.‎ ‎[解析] 因为tan α+=,‎ 所以(tan α-3)(3tan α-1)=0,所以tan α=3或.‎ 因为α∈,所以tan α>1,所以tan α=3,‎ sin+2coscos2α=sin 2α+cos 2α+=(sin 2α+2cos 2α+1)‎ ‎===0.‎ ‎[答案] 0‎ ‎11.(2015·高考广东卷)已知tan α=2.‎ ‎(1)求tan的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎[解] (1)tan===-3.‎ ‎(2)=‎ ===1.‎ ‎12.已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求cos θ的值.‎ ‎[解] (1)f=Asin=Asin =A=,‎ 所以A=3.‎ ‎(2)f(θ)-f(-θ)=3sin-3sin ‎=3 ‎=6sin θcos =3sin θ=,‎ 所以sin θ=.又因为θ∈,‎ 所以cos θ===.‎ ‎13.(2017·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合相对a0的“正弦方差”为(  )‎ A. B. C. D.与a0有关的一个值 ‎ A [解析] 集合相对a0的“正弦方差”‎ ω= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎=.‎ ‎14.(2017·郑州第一次质量预测)△ABC的三个内角为A、B、C,若=tan,则tan A=___________________________.‎ ‎[解析] ==‎ ‎-=-tan=tan ‎=tan,所以-A-=-,所以A=-==,所以tan A=tan=1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎15.已知sin α+cos α=,α∈,sin=,β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值;‎ ‎(2)求cos(α+2β)的值.‎ ‎[解] (1)由题意得(sin α+cos α)2=,‎ 即1+sin 2α=,所以sin 2α=.‎ 又2α∈,所以cos 2α==,‎ 所以tan 2α==.‎ ‎(2)因为β∈,β-∈,‎ sin=,‎ 所以cos=,‎ 于是sin 2=2sin·cos=.‎ 又sin 2=-cos 2β,所以cos 2β=-,‎ 又2β∈,所以sin 2β=,‎ 又cos2α==,α∈,‎ 所以cos α=,sin α=.‎ 所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β ‎=×-× ‎=-.‎ ‎16.已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).‎ ‎(1)求a,θ的值.‎ ‎(2)若f=-,α∈,求sin的值.‎ ‎[解] (1)因为y=a+2cos2x是偶函数,所以g(x)=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ=,所以f(x)=-(a+2cos2x)sin 2x,代入得a=-1.所以a=-1,θ=.‎ ‎(2)f(x)=-(-1+2cos2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x=-sin 4x,因为f=-,‎ 所以f=-sin α=-,故sin α=,又α∈,所以cos α=-,sin=×+×=.‎
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