【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用学案

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【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用学案

第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 最新考纲 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响;2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示.‎ x ‎- ‎-+ - ωx+φ ‎0‎ π ‎2π y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎2.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ ‎3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径 ‎[微点提醒]‎ ‎1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ ‎2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+(k∈Z)确定;对称中心由ωx+φ=kπ(k∈Z)确定其横坐标.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)将函数y=3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.(  )‎ ‎(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(  )‎ ‎(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(  )‎ ‎(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(  )‎ 解析 (1)将函数y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(必修4P56T3改编)y=2sin的振幅、频率和初相分别为(  )‎ A.2,4π, B.2,, C.2,,- D.2,4π,- 解析 由题意知A=2,f===,初相为-.‎ 答案 C ‎3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.‎ 解析 设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),‎ 由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,‎ 所以y=sin+6.‎ 因为当x=2时,y=7,‎ 所以sin(π+φ)+6=7,即sin φ=-1,‎ 即φ=-+2kπ(k∈Z),可取φ=-.‎ 所以y=sin+6=6-cosx.‎ 答案 y=6-cosx ‎4.(2019·永州模拟)函数y=2cos的部分图象大致是(  )‎ 解析 由y=2cos可知,函数的最大值为2,故排除D;又因为函数图象过点,故排除B;又因为函数图象过点,故排除C.‎ 答案 A ‎5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(  )‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位,所得函数为y=2sin=2sin,故选D.‎ 答案 D ‎6.(2018·长沙模拟改编)y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.‎ 解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为.‎ 答案  考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 ‎【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.‎ 解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)=5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=5sin,‎ 得g(x)=5sin.‎ 因为函数y=sin x图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z).‎ 令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ(k∈Z).‎ 由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,所以令+-θ=(k∈Z),解得θ=-(k∈Z).‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.‎ 规律方法 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法:‎ ‎(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;‎ ‎(2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(  )‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎(2)(2018·石家庄调研)若把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是(  )‎ A.2 B. C. D. 解析 (1)易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2,因此D项正确.‎ ‎(2)y=sin和函数y=cos ωx的图象重合,可得π-=+2kπ,k∈Z,则ω=6k+2,k∈Z.‎ ‎∴2是ω的一个可能值.‎ 答案 (1)D (2)A 考点二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 ‎【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.‎ ‎(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为(  )‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 解析 (1)由题图可知A=,‎ 法一 =-=,‎ 所以T=π,故ω=2,‎ 因此f(x)=sin(2x+φ),‎ 又对应五点法作图中的第三个点,‎ 因此2×+φ=π+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=.故f(x)=sin.‎ 法二 以为第二个“零点”,为最小值点,‎ 列方程组解得 故f(x)=sin.‎ ‎(2)T=2=π=,∴ω=2,‎ 因此f(x)=sin(2x+φ).‎ 由五点作图法知A是第二点,得2×+φ=,‎ ‎2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=-.∴f(x)=sin.‎ 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).‎ ‎∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ 答案 (1)f(x)=sin (2)C 规律方法 1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求ω,难点是“φ”的确定.‎ ‎2.y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法 ‎(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.‎ ‎(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.‎ ‎【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)=-2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位,所得的部分函数图象如图所示,则φ的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________.‎ 解析 (1)由题图知,T=2=π,‎ ‎∴ω==2,∴f(x)=-2cos 2x,‎ ‎∴f(x+φ)=-2cos(2x+2φ),‎ 则由图象知,f=-2cos=2.‎ ‎∴+2φ=2kπ+π(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z).‎ 又0<φ<,所以φ=.‎ ‎(2)由图象知A=2,‎ 又1=2sin(ω×0+φ),即sin φ=,‎ 又|φ|<,∴φ=.‎ 又×ω+=2π,∴ω=2,‎ ‎∴f(x)=2sin,‎ 令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).‎ ‎∴f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ 答案 (1)C (2)x=+(k∈Z)‎ 考点三 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用 多维探究 角度1 三角函数模型的应用 ‎【例3-1】 如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米.‎ 解析 以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒转动一周,设∠OO1P=θ,运动t(秒)后与地面的距离为f(t).‎ 又周期T=12,所以θ=t,‎ 则f(t)=3+2sin=3-2cos t(t≥0),‎ 当t=40 s时,f(t)=3-2cos=4.‎ 答案 4‎ 角度2 三角函数性质与图象的综合应用 ‎【例3-2】 已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.‎ 解 (1)f(x)=2sin ωxcosωx+(2sin2ωx-1)‎ ‎=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.‎ 由最小正周期为π,得ω=1,‎ 所以f(x)=2sin,‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin 2x+1的图象;‎ 所以g(x)=2sin 2x+1.‎ 令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),‎ 所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.‎ 所以b的最小值为4π+=.‎ 规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.‎ ‎3.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ ‎【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ‎=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为________℃.‎ 解析 因为当x=6时,y=a+A=28;‎ 当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,‎ 所以y=f(x)=23+5cos,‎ 所以当x=10时,f(10)=23+5cos ‎=23-5×=20.5.‎ 答案 20.5‎ ‎(2)已知函数f(x)=5sin xcos x-5cos2x+(其中x∈R),求:‎ ‎①函数f(x)的最小正周期;‎ ‎②函数f(x)的单调区间;‎ ‎③函数f(x)图象的对称轴和对称中心.‎ 解 ①因为f(x)=sin 2x-(1+cos 2x)+ ‎=5(sin 2x-cos 2x)=5sin,‎ 所以函数的最小正周期T==π.‎ ‎②由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的递增区间为(k∈Z).‎ 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的递减区间为(k∈Z).‎ ‎③由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.五点法作图及图象变换问题 ‎(1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向;‎ ‎(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看角ωx+φ的变化.‎ ‎2.由图象确定函数解析式 解决由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A,ω,φ的问题时,常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.由函数y=sin x的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩再平移时,要把x前面的系数提取出来.‎ ‎2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0,要先根据诱导公式进行转化.‎ ‎3.求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值,可先求t=ωx+φ的范围,再结合图象得出y=Asin t的值域.‎ 逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解 数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算可促进学生思维的发展;而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.‎ 运算和推理贯穿于探究数学问题的始终,可交替使用,相辅相成.‎ 类型1 三角函数的周期T与ω的关系 ‎【例1】 为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为(  )‎ A.98π B.π C.π D.100π 解析 由题意,至少出现50次最大值即至少需用49个周期,所以T=·≤1,所以ω≥π.‎ 答案 B 评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=与所给区间的关系,从而建立不等关系.‎ 类型2 三角函数的单调性与ω的关系 ‎【例2】 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递减,则ω的取值范围是(  )‎ A.0≤ω≤ B.0≤ω≤ C.≤ω≤3 D.≤ω≤3‎ 解析 令+2kπ≤ωx≤π+2kπ(k∈Z),得+≤x≤+,因为f(x)在上单调递减,‎ 所以得6k+≤ω≤4k+3.‎ 又ω>0,所以k≥0,‎ 又6k+<4k+3,得0≤k<,所以k=0.‎ 故≤ω≤3.‎ 答案 D 评析 根据正弦函数的单调递减区间,确定函数f(x)的单调递减区间,根据函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递减,建立不等式,即可求ω的取值范围.‎ 类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系 ‎【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f(x)=sin ωx-cos ωx,若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)‎ ‎(2)已知函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,则ω的取值范围是________.‎ 解析 (1)f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,‎ 令ωx-=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z).‎ 当k=0时,≤π,即≤ω,‎ 当k=1时,+≥2π,即ω≤.‎ 综上,≤ω≤.‎ ‎(2)显然ω≠0,分两种情况:‎ 若ω>0,当x∈时,-ω≤ωx≤ω.‎ 因函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,所以-ω≤-,解得ω≥.‎ 若ω<0,当x∈时,ω≤ωx≤-ω,‎ 因函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,所以ω≤-,解得ω≤-2.‎ 综上所述,符合条件的实数ω≤-2或ω≥.‎ 答案 (1) (2) 评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外,还必须知晓一个周期里函数最值的变化,以及何时取到最值,函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1. (2016·全国Ⅱ卷)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  )‎ A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析 由题图可知,A=2,T=2=π,‎ 所以ω=2,由五点作图法知2×+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin.‎ 答案 A ‎2.(2019·洛阳期中)将函数y=sin·cos的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值不可能是(  )‎ A.- B.- C. D. 解析 将y=sincos=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin,由题意得+φ=kπ+(k∈Z),‎ ‎∴φ=kπ+(k∈Z),当k=-1,0,1时,φ的值分别为-,,,φ的取值不可能是-.‎ 答案 B ‎3.(2019·咸阳模拟)已知点P(,-)是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,若∠MPN=60°,则该函数的最小正周期是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 解析 由P是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与P相邻的两个最高点,知|MP|=|NP|,‎ 又∠MPN=60°,所以△MPN为等边三角形.‎ 由P,得|MN|=×2=6.‎ ‎∴该函数的最小正周期T=6.‎ 答案 D ‎4.(2018·天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减 C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减 解析 y=sin=sin 2,将其图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2x的图象.由2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.令k=0,可知函数y=sin 2x在区间上单调递增.‎ 答案 A ‎5.(2019·张家界模拟)将函数f(x)=sin 2x-cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后,得到函数g(x)的图象,若g(x)=g,则实数t的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 解析 由题意得,f(x)=2sin,‎ 则g(x)=2sin,‎ 从而2sin=2sin=-2sin(2x-2t)=2sin(2x-2t+π),又t>0,‎ 所以当2t-=-2t+π+2kπ时,即t=+(k∈Z),实数tmin=π.‎ 答案 B 二、填空题 ‎6.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________________.‎ y=sin.‎ 答案 y=sin ‎7. (2018·沈阳质检)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f=________.‎ 解析 由图象可知A=2,T=-=,∴T=π,∴ω=2.‎ ‎∵当x=时,函数f(x)取得最大值,‎ ‎∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),‎ ‎∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,‎ 则f=2sin=2cos =.‎ 答案  ‎8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=____________________________________________.‎ 解析 依题意,x==时,y有最小值,‎ ‎∴sin=-1,∴ω+=2kπ+ (k∈Z).‎ ‎∴ω=8k+ (k∈Z),‎ 因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,‎ 所以-≤,即ω≤12,‎ 令k=0,得ω=.‎ 答案  三、解答题 ‎9.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度;‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差.‎ 解 (1)f(8)=10-cos-sin ‎=10-cos -sin =10-×-=10.‎ 故实验室上午8时的温度为10 ℃.‎ ‎(2)因为f(t)=10-2(cost+sint)=10-2sin,‎ 又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.‎ 当t=2时,sin=1;‎ 当t=14时,sin=-1.‎ 于是,f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.‎ 故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.‎ ‎10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x= 对称,且图象上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.‎ 解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,‎ 所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.‎ 又f(x)的图象关于直线x=对称,‎ 所以2×+φ=kπ+(k∈Z),‎ 因为-≤φ<,所以k=0,‎ 所以φ=-=-,所以f(x)=sin,‎ 则f=sin=sin =.‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,‎ 所以g(x)=f=sin=sin.‎ 当2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.(2019·合肥调研)已知x=是函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x ‎)的图象,则函数g(x)在上的最小值为(  )‎ A.-2 B.-1 C.- D.- 解析 ∵x=是f(x)=2sin图象的一条对称轴,∴+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z).‎ ‎∵0<φ<π,∴φ=,则f(x)=2sin,‎ ‎∴g(x)=-2sin在上的最小值为g=-1.‎ 答案 B ‎12.已知函数f(x)=2sin cos +2cos2-1(ω>0)的最小正周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=(  )‎ A.2 B.1 C.-1 D.-2‎ 解析 函数f(x)=2sin cos +2cos2-1‎ ‎=sin ωx+cos ωx=2sin.‎ 由T==π,可得ω=2,∴f(x)=2sin.‎ ‎∵x∈,∴≤2x+≤,∴-1≤f(x)≤2.‎ 画出f(x)的图象(图略),结合图象知x1+x2=,‎ 则f(x1+x2)=f=2sin=2sin =1.‎ 答案 B ‎13.(2019·广东省际名校联考)将函数f(x)=1-2·cos2x-(sin x-cos x)2‎ 的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若x∈,则函数g(x)的单调递增区间是________.‎ 解析 ∵f(x)=1-2cos2 x-(sin x-cos x)2‎ ‎=sin 2x-cos 2x-=2sin-,‎ ‎∴g(x)=2sin-=2sin-,‎ 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),‎ 得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),‎ ‎∵x∈,‎ ‎∴函数g(x)在上的单调递增区间是.‎ 答案  ‎14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.‎ 解 (1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知 A=1,=-=,‎ 即T=π,所以π=,解得ω=2,‎ 所以f(x)=sin(2x+φ),又过点,‎ 由0=sin可得+φ=2kπ(k∈Z),‎ 则φ=2kπ-(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=-,‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.‎ ‎(2)根据条件得g(x)=sin,‎ 当x∈时,4x+∈,‎ 所以当x=时,g(x)取得最小值,且g(x)min=.‎
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