【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业

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【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 ‎ 1、函数的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知正数,满足,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. 3、实数,,满足,则的最大值为__________.‎ ‎4、设实数,,,满足,,那么的最大值是__________.‎ ‎5、已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,则的最大值为________.‎ ‎6、已知,若,则的最小值为__________;若,则的最大值为__________. 7、已知x,y,z是正实数,且满足.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)求证:‎ ‎8、已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-3,3].‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若p,q,r为正实数,且p+q+r=m,求证:p2+q2+r2≥3.‎ ‎9、已知,且.‎ ‎(I)试利用基本不等式求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若实数满足,求证:.‎ ‎10、已知,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对一切实数,,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎11、已知,求证.‎ ‎12、(1)已知,证明:;‎ ‎(2)若对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎13、若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.‎ ‎14、若正数,,满足,求的最小值.‎ ‎15、已知函数.‎ ‎(1)求的最大值;‎ ‎(2)设,且,求证:.‎ ‎16、已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求函数的零点个数.‎ ‎17、已知,且,求的最大值.‎ ‎18、已知.若函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎19、设a,b,c都是正数,求证:‎ ‎20、已知,,,设函数,‎ Ⅰ若,求不等式的解集;‎ Ⅱ若函数的最小值为1,证明:‎ 参考答案 ‎1、答案:B 分析:直接利用柯西不等式求函数的最大值.‎ 详解:由柯西不等式得,‎ 所以 (当且仅当即x=时取最大值)‎ 故答案为:B.‎ 名师点评:(1)本题主要考查柯西不等式求最值,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式:设均为实数,则 ‎,其中等号当且仅当时成立.‎ ‎2、答案:C 分析:结合对进行搭配,利用柯西不等式求解即可.‎ 详解:正数满足,‎ 则,‎ ‎,‎ 故,‎ 的最大值为,故选C.‎ 名师点评:本题主要考查柯西不等式求最值,属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法:一是考虑题设条件;二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 ‎3、答案:3‎ 分析:由,可得,换元后利用柯西不等式求解即可.‎ 详解:,‎ 可得,‎ 设,‎ 可得,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当,时,的最大值为,‎ 此时,‎ 由此可得的最大值为,故答案为.‎ 名师点评:本题主要考查了一般形式的柯西不等式,属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法:一是考虑题设条件;二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.‎ ‎4、答案:.‎ 分析:直接利用柯西不等式求解即可.‎ 详解:,‎ ‎,‎ 的最大值是,故答案为.‎ 名师点评:本题主要考查了柯西不等式的应用,属于中档题.利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法:一是考虑题设条件;二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 ‎5、答案:‎ 分析:根据柯西不等式,将原式进行配凑,并结合已知条件加以计算,即可得到的最大值.‎ 详解:根据柯西不等式,可得 ‎ ,‎ 当且仅当,即时,的最大值为18,‎ 因此的最大值为.‎ 名师点评:该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题,在解题的过程中,需要对柯西不等式的形式要熟悉,并能对式子进行正确的配凑,从而求得结果.‎ ‎6、答案:8 ‎ 根据题意,由基本不等式的性质可得4=x+2y≥2,变形可得2xy,进而可得x2+4y2=(x+2y)2﹣4xy=16﹣4xy,分析可得第一个空;再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,x,y∈R+,且x+2y=4,则有4=x+2y≥2,变形可得2xy,(当且仅当x=2y时等号成立)‎ x2+4y2=(x+2y)2﹣4xy=16﹣4xy,‎ 又由4xy,则有x2+4y2,‎ 即x2+4y2的最小值为8;‎ 若,则由柯西不等式得 ‎()(1+),(当且仅当x=4y时等号成立),‎ 所以4‎ 即的最大值为,‎ 故答案为:(1). 8 (2). .‎ 名师点评:‎ 本题考查基本不等式的性质以及应用,考查了柯西不等式,属于中档题.‎ ‎7、答案:试题分析:(1)利用“乘1法”,根据基本不等式可求的最小值;‎ ‎(2)由柯西不等式即可得证.‎ 详解:‎ ‎(1)∵x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1,‎ ‎∴++=(x+2y+3z)‎ ‎=6++++++≥6+2+2+2,‎ 当且仅当=且=且=时取等号.‎ ‎(2)由柯西不等式可得 ‎1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),‎ ‎∴x2+y2+z2≥,‎ 当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号.‎ 故x2+y2+z2≥‎ 名师点评:本题考查基本不等式及柯西不等式,属基础题. 8、答案:(1)3(2)见解析 试题分析:分析:(1)根据的解析式得出的单调性和奇偶性,根据解集得出,故而求出的值.‎ ‎(2)利用柯西不等式即可证得结果.‎ 详解:(1)‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 又是偶函数,的解集是,‎ 所以,即.‎ ‎(2)证明:由(1)知,p+q+r=3,又p,q,r为正实数,‎ ‎∴由柯西不等式得,‎ 即 名师点评:该题考查的是有关不等式的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有根据绝对值的意义取绝对值符号,不等式的解集的端点值的特点,柯西不等式,需要对基础知识牢固掌握. 9、答案:(Ⅰ)3;(Ⅱ)证明见解析.‎ 试题分析:(I)由条件根据,利用基本不等式求得m的最小值t;‎ ‎(Ⅱ)由条件利用柯西不等式求得当且仅当时,,从而证得结论.‎ ‎(I)由三个数的均值不等式得:‎ ‎(当且仅当即时取“=”号),故有.‎ ‎(Ⅱ),由柯西不等式得:‎ ‎(当且仅当即时取“=”号)‎ 整理得:,即.‎ 名师点评:利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 ‎(1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时,常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形,使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件.‎ ‎(2)在应用柯西不等式求最大值时,要注意等号成立的条件,柯西不等式在排列上规律明显,具有简洁、对称的美感,运用柯西不等式求解时,按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题. 10、答案:(1)证明见解析.‎ ‎(2)‎ 试题分析:‎ ‎(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论;‎ ‎(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式,零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.‎ 试题 ‎(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,‎ ‎,的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)由柯西不等式得.‎ 若不等式对一切实数恒成立,‎ 则,其解集为,‎ 即实数的取值范围为. 11、答案:试题分析:根据(2a+1)+(2b+1)=4,2a+1>0,2b+1>0则()[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+,然后利用基本不等式可证明不等式.‎ 证明:证法一因为a>0,b>0,a+b=1,‎ 所以()[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+‎ ‎≥5+2=9.‎ 而(2a+1)+(2b+1)=4,所以.‎ 证法二因为a>0,b>0,由柯西不等式得 ‎()[(2a+1)+(2b+1)]‎ ‎≥(+)2‎ ‎=(1+2)2=9.‎ 由a+b=1,得(2a+1)+(2b+1)=4,‎ 所以.‎ 名师点评:本题主要考查了不等式的证明,以及基本不等式的应用,解题的关键 ‎[(2a+1)+(2b+1)]=1的运用,属于中档题. 12、答案:(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ 试题分析:(Ⅰ)利用条件运用基本不等式,将原式化为,再应用条件,即可得结果;(Ⅱ)“对任意实数,不等式恒成立”等价于“”,只需求出的最小值即可得结果.‎ 试题(Ⅰ)证明:因为,‎ 所以.‎ 所以要证明,‎ 即证明.‎ 因为 ‎,‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)设,‎ 则“对任意实数,不等式恒成立”等价于“”.‎ 当时,‎ 此时,‎ 要使恒成立,必须,解得.‎ 当时,不可能恒成立.‎ 当时,‎ 此时,‎ 要使恒成立,必须,解得.‎ 综上可知,实数的取范为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数恒成立(可)或恒成立(即可);②数形结合(图象在上方即可);③讨论最值或恒成立;④讨论参数.本题是利用方法③求得的范围. 13、答案:4‎ 试题分析:分析:根据柯西不等式可得结果.‎ 详解:证明:由柯西不等式,得.‎ 因为,所以,‎ 当且仅当时,不等式取等号,此时,‎ 所以的最小值为4.‎ 名师点评:本题考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn为实数,则(a+a++a)(b+b++b)≥(a1b1+a2b2++anbn)2,当且仅当bi=0或存在一个数k,使ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 14、答案:.‎ 试题分析:由a+2b+4c=3,可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10,由柯西不等式可得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为正数,,满足,所以,‎ 所以,‎ 即.‎ 当且仅当,,时,取最小值.‎ 名师点评:‎ 本题考查三元柯西不等式及其应用,考查基本的运算能力,属于基础题. 15、答案:(1);(2)证明见解析.‎ 试题分析:‎ ‎(1)法1:零点分段可得函数的最大值.‎ 法2:由三角不等式的性质可得函数的最大值为.‎ 法3:由绝对值不等式的几何意义知可得函数的最大值为.‎ ‎(2)法1:由题意可知.当且仅当,,时取等号,题中的命题得证.‎ 法2:由题意结合柯西不等式有,即,命题得证.‎ 试题 ‎(1)法1:由知,即.‎ 法2:由三角不等式得,即.‎ 法3:由绝对值不等式的几何意义知,即.‎ ‎(2)法1:∵,‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当,即,,时取等号,‎ 即.‎ 法2:∵,‎ ‎∴由柯西不等式得 ‎,‎ 整理得,‎ 当且仅当,即,,时取等号.‎ 名师点评:绝对值不等式的解法:‎ 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 16、答案:(1)见解析;(2)见解析.‎ 试题分析:由柯西不等式得,再次代入得时,取等号由(1)知,时,,此时仅有一个零点;当不全相等时,,此时零点个数为 ‎(1)由柯西不等式得 ‎,‎ 当且仅当,即时,取等号.‎ ‎(2)对于二次函数,‎ 由(1)知,时,,此时仅有一个零点;‎ 当不全相等时,,此时零点个数为. 17、答案:.‎ 试题分析:分析:利用柯西不等式求的最大值.‎ 详解:因为(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1·‎ ‎+1·)2,‎ 即(++)2≤9(a+b+c).‎ 因为a+b+c=1,所以(++)2≤9,‎ 所以++≤3,‎ 当且仅当==,即a=b=c=时等号成立.‎ 所以++的最大值为3.‎ 名师点评:本题主要考查利用柯西不等式求最大值,利用柯西不等式求最值时,先要把式子配成柯西不等式的形式,(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1·+1·)2,再利用柯西不等式. 18、答案:(1);(2).‎ 试题分析:(1)由,结合函数的最小值为,即可得结果;(2)利用(1)的结论可得,再根据基本不等式即可求得的最小值.‎ 试题(1),‎ 当且仅当时,等号成立,‎ 的最小值为.‎ ‎(2)法一(基本不不等式处理理):‎ ‎.‎ 当.等号成立.‎ 法二(柯?西不不等式处理理)‎ ‎:. 19、答案:试题分析:由,利用柯西不等式,即可作出证明。‎ ‎【详解】‎ 证:因为 所以.‎ 名师点评:‎ 本题主要考查了利用柯西不等式的证明问题,其中解答中合理化简,利用柯西不等式证明是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题。 20、答案:(1)(2)见证明 试题分析:(I)根据的取值,得到绝对值不等式,利用零点讨论法进行求解;(II)通过绝对值不等式的性质得到,将式子化成符合柯西不等式的形式,利用柯西不等式求得结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(I),不等式,即 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 解集为 ‎(II)‎ 名师点评:‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法和性质。难点在于对于柯西不等式形式的构造,要巧用数字构造符合题意的形式。 ‎
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