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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业
2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 1、函数的最大值为( ) A. B. C. D. 2、已知正数,满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 3、实数,,满足,则的最大值为__________. 4、设实数,,,满足,,那么的最大值是__________. 5、已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,则的最大值为________. 6、已知,若,则的最小值为__________;若,则的最大值为__________. 7、已知x,y,z是正实数,且满足. (1)求的最小值; (2)求证: 8、已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-3,3]. (1)求m的值; (2)若p,q,r为正实数,且p+q+r=m,求证:p2+q2+r2≥3. 9、已知,且. (I)试利用基本不等式求的最小值; (Ⅱ)若实数满足,求证:. 10、已知,. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若不等式对一切实数,,恒成立,求实数的取值范围. 11、已知,求证. 12、(1)已知,证明:; (2)若对任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 13、若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值. 14、若正数,,满足,求的最小值. 15、已知函数. (1)求的最大值; (2)设,且,求证:. 16、已知. (1)求证:; (2)求函数的零点个数. 17、已知,且,求的最大值. 18、已知.若函数的最小值为4. (1)求的值; (2)求的最小值. 19、设a,b,c都是正数,求证: 20、已知,,,设函数, Ⅰ若,求不等式的解集; Ⅱ若函数的最小值为1,证明: 参考答案 1、答案:B 分析:直接利用柯西不等式求函数的最大值. 详解:由柯西不等式得, 所以 (当且仅当即x=时取最大值) 故答案为:B. 名师点评:(1)本题主要考查柯西不等式求最值,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式:设均为实数,则 ,其中等号当且仅当时成立. 2、答案:C 分析:结合对进行搭配,利用柯西不等式求解即可. 详解:正数满足, 则, , 故, 的最大值为,故选C. 名师点评:本题主要考查柯西不等式求最值,属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法:一是考虑题设条件;二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 3、答案:3 分析:由,可得,换元后利用柯西不等式求解即可. 详解:, 可得, 设, 可得, , , , 当且仅当,时,的最大值为, 此时, 由此可得的最大值为,故答案为. 名师点评:本题主要考查了一般形式的柯西不等式,属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法:一是考虑题设条件;二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 4、答案:. 分析:直接利用柯西不等式求解即可. 详解:, , 的最大值是,故答案为. 名师点评:本题主要考查了柯西不等式的应用,属于中档题.利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法:一是考虑题设条件;二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 5、答案: 分析:根据柯西不等式,将原式进行配凑,并结合已知条件加以计算,即可得到的最大值. 详解:根据柯西不等式,可得 , 当且仅当,即时,的最大值为18, 因此的最大值为. 名师点评:该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题,在解题的过程中,需要对柯西不等式的形式要熟悉,并能对式子进行正确的配凑,从而求得结果. 6、答案:8 根据题意,由基本不等式的性质可得4=x+2y≥2,变形可得2xy,进而可得x2+4y2=(x+2y)2﹣4xy=16﹣4xy,分析可得第一个空;再利用柯西不等式求得第二个式子的最值. 【详解】 根据题意,x,y∈R+,且x+2y=4,则有4=x+2y≥2,变形可得2xy,(当且仅当x=2y时等号成立) x2+4y2=(x+2y)2﹣4xy=16﹣4xy, 又由4xy,则有x2+4y2, 即x2+4y2的最小值为8; 若,则由柯西不等式得 ()(1+),(当且仅当x=4y时等号成立), 所以4 即的最大值为, 故答案为:(1). 8 (2). . 名师点评: 本题考查基本不等式的性质以及应用,考查了柯西不等式,属于中档题. 7、答案:试题分析:(1)利用“乘1法”,根据基本不等式可求的最小值; (2)由柯西不等式即可得证. 详解: (1)∵x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1, ∴++=(x+2y+3z) =6++++++≥6+2+2+2, 当且仅当=且=且=时取等号. (2)由柯西不等式可得 1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2), ∴x2+y2+z2≥, 当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号. 故x2+y2+z2≥ 名师点评:本题考查基本不等式及柯西不等式,属基础题. 8、答案:(1)3(2)见解析 试题分析:分析:(1)根据的解析式得出的单调性和奇偶性,根据解集得出,故而求出的值. (2)利用柯西不等式即可证得结果. 详解:(1) 所以在上单调递增,在上单调递减, 又是偶函数,的解集是, 所以,即. (2)证明:由(1)知,p+q+r=3,又p,q,r为正实数, ∴由柯西不等式得, 即 名师点评:该题考查的是有关不等式的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有根据绝对值的意义取绝对值符号,不等式的解集的端点值的特点,柯西不等式,需要对基础知识牢固掌握. 9、答案:(Ⅰ)3;(Ⅱ)证明见解析. 试题分析:(I)由条件根据,利用基本不等式求得m的最小值t; (Ⅱ)由条件利用柯西不等式求得当且仅当时,,从而证得结论. (I)由三个数的均值不等式得: (当且仅当即时取“=”号),故有. (Ⅱ),由柯西不等式得: (当且仅当即时取“=”号) 整理得:,即. 名师点评:利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 (1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时,常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形,使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件. (2)在应用柯西不等式求最大值时,要注意等号成立的条件,柯西不等式在排列上规律明显,具有简洁、对称的美感,运用柯西不等式求解时,按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题. 10、答案:(1)证明见解析. (2) 试题分析: (1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论; (2)结合(1)的结论可得绝对值不等式,零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为. 试题 (Ⅰ)证明:由柯西不等式得, ,的取值范围是. (Ⅱ)由柯西不等式得. 若不等式对一切实数恒成立, 则,其解集为, 即实数的取值范围为. 11、答案:试题分析:根据(2a+1)+(2b+1)=4,2a+1>0,2b+1>0则()[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+,然后利用基本不等式可证明不等式. 证明:证法一因为a>0,b>0,a+b=1, 所以()[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+ ≥5+2=9. 而(2a+1)+(2b+1)=4,所以. 证法二因为a>0,b>0,由柯西不等式得 ()[(2a+1)+(2b+1)] ≥(+)2 =(1+2)2=9. 由a+b=1,得(2a+1)+(2b+1)=4, 所以. 名师点评:本题主要考查了不等式的证明,以及基本不等式的应用,解题的关键 [(2a+1)+(2b+1)]=1的运用,属于中档题. 12、答案:(1)证明见解析. (2). 试题分析:(Ⅰ)利用条件运用基本不等式,将原式化为,再应用条件,即可得结果;(Ⅱ)“对任意实数,不等式恒成立”等价于“”,只需求出的最小值即可得结果. 试题(Ⅰ)证明:因为, 所以. 所以要证明, 即证明. 因为 , 所以. 因为,所以. 所以. (Ⅱ)设, 则“对任意实数,不等式恒成立”等价于“”. 当时, 此时, 要使恒成立,必须,解得. 当时,不可能恒成立. 当时, 此时, 要使恒成立,必须,解得. 综上可知,实数的取范为. 【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数恒成立(可)或恒成立(即可);②数形结合(图象在上方即可);③讨论最值或恒成立;④讨论参数.本题是利用方法③求得的范围. 13、答案:4 试题分析:分析:根据柯西不等式可得结果. 详解:证明:由柯西不等式,得. 因为,所以, 当且仅当时,不等式取等号,此时, 所以的最小值为4. 名师点评:本题考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn为实数,则(a+a++a)(b+b++b)≥(a1b1+a2b2++anbn)2,当且仅当bi=0或存在一个数k,使ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 14、答案:. 试题分析:由a+2b+4c=3,可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10,由柯西不等式可得的最小值. 【详解】 因为正数,,满足,所以, 所以, 即. 当且仅当,,时,取最小值. 名师点评: 本题考查三元柯西不等式及其应用,考查基本的运算能力,属于基础题. 15、答案:(1);(2)证明见解析. 试题分析: (1)法1:零点分段可得函数的最大值. 法2:由三角不等式的性质可得函数的最大值为. 法3:由绝对值不等式的几何意义知可得函数的最大值为. (2)法1:由题意可知.当且仅当,,时取等号,题中的命题得证. 法2:由题意结合柯西不等式有,即,命题得证. 试题 (1)法1:由知,即. 法2:由三角不等式得,即. 法3:由绝对值不等式的几何意义知,即. (2)法1:∵, ∴ . 当且仅当,即,,时取等号, 即. 法2:∵, ∴由柯西不等式得 , 整理得, 当且仅当,即,,时取等号. 名师点评:绝对值不等式的解法: 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 16、答案:(1)见解析;(2)见解析. 试题分析:由柯西不等式得,再次代入得时,取等号由(1)知,时,,此时仅有一个零点;当不全相等时,,此时零点个数为 (1)由柯西不等式得 , 当且仅当,即时,取等号. (2)对于二次函数, 由(1)知,时,,此时仅有一个零点; 当不全相等时,,此时零点个数为. 17、答案:. 试题分析:分析:利用柯西不等式求的最大值. 详解:因为(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1· +1·)2, 即(++)2≤9(a+b+c). 因为a+b+c=1,所以(++)2≤9, 所以++≤3, 当且仅当==,即a=b=c=时等号成立. 所以++的最大值为3. 名师点评:本题主要考查利用柯西不等式求最大值,利用柯西不等式求最值时,先要把式子配成柯西不等式的形式,(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1·+1·)2,再利用柯西不等式. 18、答案:(1);(2). 试题分析:(1)由,结合函数的最小值为,即可得结果;(2)利用(1)的结论可得,再根据基本不等式即可求得的最小值. 试题(1), 当且仅当时,等号成立, 的最小值为. (2)法一(基本不不等式处理理): . 当.等号成立. 法二(柯?西不不等式处理理) :. 19、答案:试题分析:由,利用柯西不等式,即可作出证明。 【详解】 证:因为 所以. 名师点评: 本题主要考查了利用柯西不等式的证明问题,其中解答中合理化简,利用柯西不等式证明是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题。 20、答案:(1)(2)见证明 试题分析:(I)根据的取值,得到绝对值不等式,利用零点讨论法进行求解;(II)通过绝对值不等式的性质得到,将式子化成符合柯西不等式的形式,利用柯西不等式求得结果。 【详解】 (I),不等式,即 当时, 当时, 当时, 解集为 (II) 名师点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法和性质。难点在于对于柯西不等式形式的构造,要巧用数字构造符合题意的形式。 查看更多