- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2021届一轮复习人教版(文)24三角函数的图象与性质作业
三角函数的图象与性质 建议用时:45分钟 一、选择题 1.下列函数中,周期为2π的奇函数为( ) A.y=sin cos B.y=sin2x C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x A [y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B、C、D都不正确,故选A.] 2.函数y=|cos x|的一个单调增区间是( ) A. B.[0,π] C. D. D [将y=cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象(如图).故选D. ] 3.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称,那么|φ|的最小值为( ) A. B. C. D. A [由题意得3cos=3cos=3cos=0, 所以+φ=kπ+,k∈Z. 所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0, 得|φ|的最小值为.] 4.函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别为( ) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2 D [y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令t=sin x, 则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2, 所以ymax=2,ymin=-2.] 5.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0).在同一周期内,当x=时取最大值,当x=-时取最小值,则φ的值可能为( ) A. B. C. D. C [T==2=π,故ω=2,又2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,所以φ的值可能为.故选C.] 二、填空题 6.函数y=cos的单调递减区间为________. (k∈Z) [因为y=cos=cos, 所以令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函数的单调递减区间为(k∈Z).] 7.已知函数f(x)=2sin+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为________. [由函数f(x)=2sin+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z, ∴ω=k+,又ω∈(1,2),∴ω=, 从而得函数f(x)的最小正周期为=.] 8.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tan θ等于________. - [f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)=2sin=-2sin, 因为函数f(x)为奇函数, 则有--θ=kπ,k∈Z, 即θ=-kπ-,k∈Z, 故tan θ=tan=-.] 三、解答题 9.已知f(x)=sin. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值. [解] (1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)当x∈时,≤2x+≤, 所以-1≤sin≤, 所以-≤f(x)≤1, 所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-. 10.已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程; (2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值. [解] (1)f(x)=a·b+ =(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+ =sin x·cos x-cos2x+ =sin 2x-cos 2x=sin. 令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+π(k∈Z), 即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+π(k∈Z). (2)由(1)及已知条件可知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称, 则x1+x2=, ∴cos(x1-x2)=cos =cos=cos =sin=f(x1)=. 1.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f=f(-x)恒成立,且f=1,则实数b的值为( ) A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3 C [由f=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3.] 2.(2019·太原模拟)已知函数f(x)=2sin的图象的一个对称中心为,其中ω为常数,且ω∈(1,3).若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是( ) A.1 B. C.2 D.π B [因为函数f(x)=2sin的图象的一个对称中心为,所以ω+=kπ,k∈Z,所以ω=3k-1,k∈Z,由ω∈(1,3),得ω=2.由题意得|x1-x2|的最小值为函数的半个周期,即==.] 3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( ) A.f(x)是周期函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在处取得最大值 C [作出函数f(x)的图象,如图所示,则由图象可知函数f(x )不是周期函数,所以A不正确;同时图象不关于原点对称,所以不是奇函数,所以B不正确; 若x>0,则f=cos=(cos x-sin x), f=sin=(cos x-sin x),此时f=f,若x≤0,则f=sin=(cos x+sin x),f=cos=(cos x+sin x),此时f=f,综上,恒有f=f,即图象关于直线x= 对称,所以C正确;当x=时,f=cos=0不是函数的最大值,所以D错误,故选C. ] 4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值; (2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间. [解] 由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ). (1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x), 所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 展开整理得sin 2xcos φ=0, 由已知上式对∀x∈R都成立, 所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=. (2)因为f=, 所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z), 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z), 又因为0<φ<,所以φ=, 即f(x)=sin, 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z) 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 故f(x)的递增区间为(k∈Z). 1.设函数f(x)=sin,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则2x1+3x2+x3的值为( ) A.π B. C. D. D [由题意x∈,则2x+∈, 画出函数的大致图象,如图所示. 由图可得,当≤a<1时,方程f(x)=a恰有三个根.由2x+=得x=, 由2x+=得x=, 由图可知,点(x1,a)与点(x2,a)关于直线x=对称,点(x2,a)与点(x3,a)关于直线x=对称, 所以x1+x2=,x2+x3=, 所以2x1+3x2+x3=2(x1+x2)+(x2+x3)=.] 2.已知函数f(x)=a+b. (1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间; (2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. [解] f(x)=a(1+cos x+sin x)+b =asin+a+b. (1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1, 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z), 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴f(x)的单调增区间为(k∈Z). (2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤, ∴-≤sin≤1.依题意知a≠0, ①当a>0时,∴a=3-3,b=5; ②当a<0时,∴a=3-3,b=8. 综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.查看更多