【数学】2020届一轮复习人教B版(理)17平面向量的概念及线性运算作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(理)17平面向量的概念及线性运算作业

天天练 17 平面向量的概念及线性运算 小题狂练⑰ 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题 ‎1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是(  )‎ A.①  B.③‎ C.①③ D.①②‎ 答案:A 解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.‎ ‎2.给出下列命题:‎ ‎①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;‎ ‎②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;‎ ‎③若λa=0 (λ为实数),则λ必为零;‎ ‎④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.‎ 其中错误命题的个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案:C 解析:①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0;④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.‎ ‎3.D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于(  )‎ A.-+ B.-- C.- D.+ 答案:A 解析:∵D是△ABC的边AB的中点 ‎∴= ‎∵=-,‎ ‎∴==-+ 故选A.‎ ‎4.[2019·合肥模拟]已知向量a,b是两个不共线的向量,若向量m=‎4a+b与n=a-λb共线,则实数λ的值为(  )‎ A.-4 B.- C. D.4‎ 答案:B 解析:因为向量a,b是两个不共线的向量,所以若向量m=‎4a+b与n=a-λb共线,则4×(-λ)=1×1,解得λ=-,故选B.‎ ‎5.[2019·石家庄质检]在△ABC中,点D在边AB上,且=,设=a,=b,则=(  )‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案:B 解析:=+=+=+(+)=+=b+a,故选B.‎ ‎6.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件是(  )‎ A.λ+μ=2 B.λ-μ=1‎ C.λμ=-1 D.λμ=1‎ 答案:D 解析:由=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R)及A,B,C三点共线得=t,所以λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,即可得所以λμ=1.故选D.‎ ‎7.[2019·赣州模拟]在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(  )‎ A.1 B. C. D. 答案:D 解析:由题知,==(+).又因为BD=AB×cos60°=1,所以=,故=+,因此λ+μ=+=,故选D.‎ ‎8.[2019·太原模拟]设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则++=(  )‎ A. B. C. D.0‎ 答案:D 解析:因为D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,所以++=(+)+(+)+(+)=(+)+(+)+(+)=0,故选D.‎ 二、非选择题 ‎9.已知a与-b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-‎3a)共线,则实数λ的值为________.‎ 答案:- 解析:因为a+λb与-(b-‎3a)共线,所以存在实数μ,使得a+λb=μ(‎3a-b),即所以 ‎10.[2019·吉林长春模拟]已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=________.‎ 答案:2‎ 解析:由题意可知a,b,c的两两夹角均为120°,由|a|=|b|=1可得a+b与c反向,且|a+b|=1,从而|a+b+c|=2.‎ ‎11.[2019·盐城模拟]在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且AD=+λ(λ∈R),则AD的长为________.‎ 答案:3 解析:因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则=,=,经计算得AN=AM=3,AD=3.‎ ‎12.下列结论:‎ ‎①若a,b共线,则一定存在实数λ,使得a=λb;②若存在实数λ,使得a=λb,则a,b共线;③若对任意实数λ恒有a=λb,则a=b=0;其中正确结论的序号是________.‎ 答案:②③‎ 解析:①中,若a≠0,b=0,则不存在实数λ,使得a=λb,①不正确;②中,若b=0,则a=0,两个零向量共线,若b≠0,根据共线向量定理知a,b共线,②正确;③中,只有当a=b=0时,对任意λ恒有a=λb,③正确.‎ 课时测评⑰ 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题 ‎1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(  )‎ A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|‎ 答案:C 解析:因为向量的方向与向量a相同,向量的方向与向量b相同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a=2b时,==,故a=2b是=成立的充分条件.‎ ‎2.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 答案:D 解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.‎ ‎3.[2019·四川成都七中诊断]已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则(  )‎ A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 答案:B 解析:∵2=2+,∴2-2=,即2=,∴点P在线段AB的反向延长线上.故选B.‎ ‎4.[2019·河南质检]‎ 如图,已知在△ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点.若=m+n,则m+n=(  )‎ A.- B.- C.- D. 答案:B 解析:依题意得=+=+=+(-)=+,∴=+=+=-+=-++=-.∵=m+n,∴m=,n=-,∴m+n=-=-.故选B.‎ ‎5.[2019·洛阳统考]已知a,b是不共线的向量,=ma+b,=a+nb(m,n∈R),若A,B,C三点共线,则m,n的关系一定成立的是(  )‎ A.m=n B.m=-n C.mn=-1 D.mn=1‎ 答案:D 解析:∵A,B,C三点共线,∴存在一个实数t,使得=t,∴ma+b=ta+tnb,∴∴mn=1,故选D.‎ ‎6.[2019·郑州测试]如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在线段BN上且=+,则实数m的值为(  )‎ A.1 B. C. D. 答案:D 解析:=+=+=m+,设=λ(0≤λ≤1),则=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,因为=‎ ,所以=(1-λ)+λ,则解得故选D.‎ ‎7.[2019·广东惠州调研]如图,在正方形ABCD中,点E为DC的中点,点F为BC上靠近点B的三等分点,则=(  )‎ A.- B.+ C.+ D.- 答案:D 解析:在△CEF中,=+.因为点E为DC的中点,所以=.因为点F为BC上靠近点B的三等分点,所以=.所以=+=+=-.故选D.‎ ‎8.[2019·辽宁联考]已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则P一定为△ABC的(  )‎ A.AB边中线的三等分点(非重心)‎ B.AB边的中点 C.AB边中线的中点 D.重心 答案:A 解析:如图所示,设AB的中点是E,则==(+‎ ‎2).∵O是△ABC的重心,∴2=,‎ ‎∴=(+4)=,∴点P在AB边的中线上,是中线的三等分点,不是重心.故选A.‎ 二、非选择题 ‎9.[2019·吉林模拟]在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=λ+μ,则λμ=________.‎ 答案: 解析:∵=-=-=-2=3-2,∴=λ+3μ-2μ,∴(1-3μ)=(λ-2μ),∵和是不共线向量,∴解得∴λμ=.‎ ‎10.如图A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若=x+y,则x+y的范围为________.‎ 答案:(-∞,-1)‎ 解析:∵C,O,D三点共线,‎ ‎∴=λ=λx+λy(λ<0).‎ 又∵A,B,D三点共线,∴λx+λy=1,∴x+y=.‎ ‎∵0<||<||,λ=-,‎ ‎∴-1<λ<0,∴<-1,即x+y<-1.‎ 所以x+y的范围为(-∞,-1).‎ ‎11.设两个非零向量a和b不共线.‎ ‎(1)若=a+b,=‎2a+8b,=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.‎ 解析:(1)证明:因为=a+b,=‎2a+8b,=3(a-b),所以=+=‎2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,‎ 所以,共线,又与有公共点B,‎ 所以A、B、D三点共线.‎ ‎(2)因为ka+b与a+kb共线,‎ 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb).‎ 即解得k=±1.‎ 即k=±1时,ka+b与a+kb共线.‎
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