- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版 不等式的证明 教案
1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放缩法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式. 知识点一 不等式证明的常见方法 1.综合法:从命题的已知条件出发,利用________、已知的______及______,逐步推导,从而最后导出要证明的命题. 2.分析法:从需要证明的结论出发,分析使这个命题成立的________,利用已知的一些______,逐步探索,最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或______________). 3.反证法:首先假设要证明的命题是________,然后利用______,已有的______、______,逐步分析,得到和____________ (或已证明过的定理,或明显成立的事实)矛盾的结论,以此说明假设的结论________,从而原来的结论正确. 4.放缩法:将所需证明的不等式的值适当____(或______)使它由繁到简,达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式,把分母放大,则相应分式的值______,反之,把分母缩小,则分式的值______. 答案 1.公理 定义 定理 2.充分条件 定理 一个明显的事实 3.不正确的 公理 定义 定理 命题的条件 不成立 4.放大 缩小 缩小 放大 1.判断正误 (1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.( ) (2)若实数x、y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.( ) 答案:(1)× (2)√ 2.若m=a+2b,n=a+b2+1,则m与n的大小关系为________. 解析:∵n-m=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴n≥m. 答案:n≥m 3.已知a,b为正数,求证:+≥. 证明:∵a>0,b>0, ∴(a+b)=5++ ≥5+2=9.∴+≥. 知识点二 柯西不等式 1.设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. 2.若ai,bi(i∈N*)为实数,则()()≥(ibi)2,当且仅当= =…=(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n)时等号成立. 3.柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当α,β共线时等号成立. 4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值是________. 解析:根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值为. 答案: 5.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则++的最大值为________. 解析:(++)2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3. 当且仅当a=b=c=时,等号成立. ∴(++)2≤3.故++的最大值为. 答案: 热点一 比较法证明不等式 【例1】 设a,b是非负实数,求证:a2+b2≥(a+b). 【证明】 因为a2+b2-(a+b)=(a2-a)+(b2-b)=a(-)+b(-)=(-)(a-b)=(a-b)(a-b eq sup15( ) ),因为a≥0,b≥0,所以不论a≥b≥0,还是0≤a≤b,都有a-b与a-b同号,所以(a-b)(a-b)≥0,所以a2+b2≥(a+b). 【总结反思】 比较法证明不等式的一般步骤 (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”的关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负. 设不等式|2x-1|<1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小. 解:(1)由|2x-1|<1,得-1<2x-1<1,解得0查看更多
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