【数学】2018届一轮复习人教A版 不等式的证明 教案

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【数学】2018届一轮复习人教A版 不等式的证明 教案

‎1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放缩法.‎ ‎2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式.‎ 知识点一 不等式证明的常见方法 ‎ ‎1.综合法:从命题的已知条件出发,利用________、已知的______及______,逐步推导,从而最后导出要证明的命题.‎ ‎2.分析法:从需要证明的结论出发,分析使这个命题成立的________,利用已知的一些______,逐步探索,最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或______________).‎ ‎3.反证法:首先假设要证明的命题是________,然后利用______,已有的______、______,逐步分析,得到和____________‎ ‎(或已证明过的定理,或明显成立的事实)矛盾的结论,以此说明假设的结论________,从而原来的结论正确.‎ ‎4.放缩法:将所需证明的不等式的值适当____(或______)使它由繁到简,达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式,把分母放大,则相应分式的值______,反之,把分母缩小,则分式的值______.‎ 答案 ‎1.公理 定义 定理 ‎2.充分条件 定理 一个明显的事实 ‎3.不正确的 公理 定义 定理 命题的条件 不成立 ‎4.放大 缩小 缩小 放大 ‎1.判断正误 ‎(1)用反证法证明命题“a,b,c全为‎0”‎时假设为“a,b,c全不为‎0”‎.(  )‎ ‎(2)若实数x、y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.(  )‎ 答案:(1)× (2)√‎ ‎2.若m=a+2b,n=a+b2+1,则m与n的大小关系为________.‎ 解析:∵n-m=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴n≥m.‎ 答案:n≥m ‎3.已知a,b为正数,求证:+≥.‎ 证明:∵a>0,b>0,‎ ‎∴(a+b)=5++ ‎≥5+2=9.∴+≥.‎ 知识点二 柯西不等式 ‎ ‎1.设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.‎ ‎2.若ai,bi(i∈N*)为实数,则()()≥(ibi)2,当且仅当=‎ =…=(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n)时等号成立.‎ ‎3.柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当α,β共线时等号成立.‎ ‎4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值是________.‎ 解析:根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值为.‎ 答案: ‎5.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则++的最大值为________.‎ 解析:(++)2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3.‎ 当且仅当a=b=c=时,等号成立.‎ ‎∴(++)2≤3.故++的最大值为.‎ 答案: 热点一 比较法证明不等式 ‎ ‎【例1】 设a,b是非负实数,求证:a2+b2≥(a+b).‎ ‎【证明】 因为a2+b2-(a+b)=(a2-a)+(b2-b)=a(-)+b(-)=(-)(a-b)=(a-b)(a-b ‎ eq sup15( ) ),因为a≥0,b≥0,所以不论a≥b≥0,还是0≤a≤b,都有a-b与a-b同号,所以(a-b)(a-b)≥0,所以a2+b2≥(a+b).‎ ‎【总结反思】‎ 比较法证明不等式的一般步骤 ‎(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”的关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.‎ ‎ ‎ 设不等式|2x-1|<1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M;‎ ‎(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.‎ 解:(1)由|2x-1|<1,得-1<2x-1<1,解得00,故ab+1>a+b.‎ 热点二 分析法、综合法证明不等式 ‎ ‎【例2】 (1)已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3;‎ ‎(2)设a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥.‎ ‎【证明】 (1)因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥‎ ‎3=3,所以2x+≥2y+3.‎ ‎(2)因为a,b,c>0,所以要证a+b+c≥,只需证明(a+b+c)2≥3.即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而ab+bc+ca=1,故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.而ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)成立.所以原不等式成立.‎ ‎【总结反思】‎ 用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.‎ ‎ ‎ 设a、b、c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.‎ 证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥‎2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为+b≥‎2a,+c≥2b,+a≥‎2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.‎ 热点三 放缩法证明不等式 ‎ ‎【例3】 设a,b,c均为正实数,求证:++≥++.‎ ‎【证明】 ∵a,b,c均为正实数,‎ ‎∴≥≥,当且仅当a=b时等号成立;‎ ≥≥,当且仅当b=c时等号成立;‎ ≥≥,当且仅当c=a时等号成立;‎ 三个不等式相加即得++≥++,‎ 当且仅当a=b=c时等号成立.‎ ‎【总结反思】‎ 不等式的变形是一种保号变形.如证明f(a)>g(a),我们可将左边放缩成f1(a),但必须同时保证f1(a)-g(a)≥0,否则称为放缩过度.‎ ‎ ‎ 设s=+++…+,求证:n(n+1)+++…+=1+2+3+…+n=n(n+1),s<+++…+=[3+5+7+…+(2n+1)]=n(n+2),∴n(n+1)
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