2018届二轮复习抓重点——函数性质与分段函数课件（江苏专用）

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专题 3 　函数与导数 第 7 练　抓重点 —— 函数 性质 与 分段 函数 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型 . 主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上 . 二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 5 解析　 由 f ( f ( a )) ＝ 2 f ( a ) 得， f ( a ) ≥ 1. 当 a ≥ 1 时，有 2 a ≥ 1 ， ∴ a ≥ 0 ， ∴ a ≥ 1. 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 若 x ≤ 0 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 ＝ 3( x 2 － 1 ). 由 f ′ ( x ) ＞ 0 得 x ＜－ 1 ，由 f ′ ( x ) ＜ 0 得－ 1 ＜ x ≤ 0. 所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1) 上单调递增 ； 在 ( － 1,0] 上单调递减 ，所以 f ( x ) 的最大值为 f ( － 1) ＝ 2. 若 x ＞ 0 ， f ( x ) ＝－ 2 x 单调递减，所以 f ( x ) ＜ f (0) ＝ 0 . 所以 f ( x ) 的最大值为 2. 2 1 2 3 4 5 解析答案 (2) 若 f ( x ) 无最大值，则实数 a 的取值范围是 ______ _ ____. 解析　 f ( x ) 的两个函数在无限制条件时的图象如图 . 由 (1) 知，当 a ≥ － 1 时， f ( x ) 取得最大值 2. 当 a ＜－ 1 时， y ＝－ 2 x 在 x ＞ a 时无最大值 ， 且 － 2 a ＞ 2. 所以 a ＜－ 1. ( － ∞ ，－ 1) 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 返回 解析 　 因为 f ( x ) 是周期为 2 的函数， 所以 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 2). 而 f ( x ) 是奇函数 ，所以 f ( x ) ＝－ f ( － x ). 所以 f (1) ＝ f ( － 1) ， f (1) ＝－ f ( － 1) ，即 f (1) ＝ 0 ， － 2 高考 必会题型 题型一　函数单调性、奇偶性的应用 2. 若 f ( x ) 和 g ( x ) 都是增函数，则 f ( x ) ＋ g ( x ) 也是增函数，－ f ( x ) 是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断 . 3. 定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数 . 4. 奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数 . 解析答案 例 1 　 (1) 如果函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 x － 3 在区间 ( － ∞ ， 4) 上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析　 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ 2 x － 3 ，在定义域 R 上是单调递增的 ， 故 在 ( － ∞ ， 4) 上单调递增； 因为 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 4) 上单调递增， 解析答案 解析　 由已知条件得 f ( x ) 为增函数， 点评 点评 (1) 奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分 ( 一半 ) 区间上，这是简化问题的一种途径 . 尤其注意偶函数 f ( x ) 的性质： f (| x |) ＝ f ( x ). (2) 单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性 . 解析答案 解析　 由 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 ax 在 [1,2] 上是减函数可 得 [ 1,2] ⊆ [ a ，＋ ∞ ) ， ∴ a ≤ 1. 故 0 ＜ a ≤ 1. (0,1] 题型二　函数的周期性与对称性的应用 重要结论： 1. 若对于定义域内的任意 x ，都有 f ( a － x ) ＝ f ( a ＋ x ) ，则函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称 . 2. 若对于任意 x ，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，则 f ( x ) 为周期函数，且它的周期为 T . 例 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) 是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的奇函数，且 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，当 x ∈ [ － 1,0) 时， f ( x ) ＝－ x ，则 f (2 015) ＋ f (2 016) ＝ ________. 解析答案 解析　 由 f ( x ) 是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的奇函数且 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，知 f ( x ) 的周期为 4 ， ∴ f (2 015) ＝ f (3) ＝ f ( － 1) ＝ 1 ， f (2 016) ＝ f (4) ＝ f (0) ＝ 0. ∴ f (2 015) ＋ f (2 016) ＝ 1 ＋ 0 ＝ 1. 1 点评 (2) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ). 当－ 3 ≤ x ＜－ 1 时， f ( x ) ＝－ ( x ＋ 2) 2 ；当－ 1 ≤ x ＜ 3 时， f ( x ) ＝ x ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (2 016) ＝ ________. 解析答案 解析　 由 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) 可知，函数 f ( x ) 的一个周期为 6 ， 所以 f ( － 3) ＝ f (3) ＝－ 1 ， f ( － 2) ＝ f (4) ＝ 0 ， f ( － 1) ＝ f (5) ＝－ 1 ， f (0) ＝ f (6) ＝ 0 ， f (1) ＝ 1 ， f (2) ＝ 2 ， 所以 在一个周期内有 f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (6) ＝ 1 ＋ 2 － 1 ＋ 0 － 1 ＋ 0 ＝ 1 ， 所以 f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (2 016) ＝ [ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (6 )] × 336 ＝ 336. 336 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解 . 点评 ① f (1) ＝ 0 ； ② f ( x ) 在 [ － 2,2] 上有 5 个零点； ③ 点 (2 014,0) 是函数 y ＝ f ( x ) 图象的一个对称中心； ④ 直线 x ＝ 2 014 是函数 y ＝ f ( x ) 图象的一条对称轴 . 则正确命题的序号是 ________. 解析 √ √ √ 解析　 在 f ( x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) 中令 x ＝ 0 ，得 f ( － 1) ＝ f (1) ，又 f ( － 1) ＝－ f (1) ， ∴ 2 f (1) ＝ 0 ， ∴ f (1) ＝ 0 ，故 ① 正确； 由 f ( x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) ，得 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 2) ， ∴ f ( x ) 是周期为 2 的周期函数， ∴ f (2) ＝ f (0) ＝ 0 ， ∴ 函数在区间 (0,1) 上单调递减，可作函数的简图如图 . 由图知 ②③ 也正确， ④ 不正确 . 所以 正确命题的序号为 ①②③ . 题型三　分段函数 解析 答案 点评 解析答案 (1) 分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的 . 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 . (2) 在求分段函数 f ( x ) 的解析式时，一定要首先判断 x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式 . 点评 返回 解析答案 由图象可知，若 f (1 － x 2 ) ＞ f (2 x ) ， 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 设函数 f ( x ) 为偶函数，对于任意的 x ＞ 0 ，都有 f (2 ＋ x ) ＝－ 2 f (2 － x ) ，已知 f ( － 1) ＝ 4 ，那么 f ( － 3) 等于 ______. 解析 　 ∵ f ( x ) 为偶函数， ∴ f (1) ＝ f ( － 1) ＝ 4 ， f ( － 3) ＝ f (3) ， 当 x ＝ 1 时， f (2 ＋ 1) ＝－ 2· f (2 － 1) ， ∴ f (3) ＝－ 2 × 4 ＝－ 8 ， ∴ f ( － 3) ＝－ 8. － 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 ∴ － 1 ＜ x ＜ 0 或 0 ＜ x ＜ 1. ( － 1,0) ∪ (0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 如图， 若使函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， a ＋ 1) 上单调递增 ， 则 a ＋ 1 ≤ 2 或 a ≥ 4 ，解得实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ， 1] ∪ [4 ，＋ ∞ ). ( － ∞ ， 1] ∪ [4 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 知 f ( x ) 为 R 上的偶函数，于是 f ( x ) ＞ f (2 x － 1) 即为 f (| x |) ＞ f (|2 x － 1|). 所以 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，则由 f (| x |) ＞ f (|2 x － 1|) 得 | x | ＞ |2 x － 1| ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ，若 f (2 － a 2 ) ＞ f ( a ) ，则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 　 ∵ f ( x ) 是奇函数 ， ∴ 当 x ＜ 0 时， f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 x . 作出函数 f ( x ) 的大致图象如图中实线所示 ， 结合 图象可知 f ( x ) 是 R 上的增函数 ， 由 f (2 － a 2 ) ＞ f ( a ) ，得 2 － a 2 ＞ a ，解得－ 2 ＜ a ＜ 1. ( － 2,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时， f ( x ) ＋ xf ′ ( x )<0 成立，若 a ＝ 2 0.2 · f (2 0.2 ) ， b ＝ ln 2· f (ln 2) ， ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ________. 解析 答案 b > a > c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，所以 y ＝ f ( x ) 关于 y 轴对称 . 所以函数 y ＝ xf ( x ) 为奇函数 . 因为当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时， [ xf ( x )]′ ＝ f ( x ) ＋ xf ′ ( x )<0 ， 所以函数 y ＝ xf ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上单调递减， 从而当 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) 时，函数 y ＝ xf ( x ) 单调 递减 . 因为 1<2 0.2 <2,0 a > c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7.(2016· 四川改编 ) 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 . 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元 . 在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ________. ( 参考数据： lg 1.12 ＝ 0.05 ， lg 1.3 ＝ 0.11 ， lg 2 ＝ 0.30) 解析　 设第 x 年的研发资金为 200 万 元 ， 则 由题意可得 130 × (1 ＋ 12%) x ＝ 200 ， 即 3 年后不到 200 万元，第 4 年超过 200 万元，即 2019 年超过 200 万元 . 2019 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 已知函数 f ( x ) 在实数集 R 上具有下列性质： ① 直线 x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的一条对称轴； ② f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ； ③ 当 1 ≤ x 1 ＜ x 2 ≤ 3 时， ( f ( x 2 ) － f ( x 1 ))·( x 2 － x 1 ) ＜ 0 ， 则 f (2 015 ) ， f (2 016 ) ， f (2 017 ) 从大到小的顺序 为 _______________________. 解析 答案 f (2 017) ＞ f (2 016) ＞ f (2 015) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ， 得 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ，所以函数 f ( x ) 的周期是 4. 所以 f (2 015) ＝ f (3) ， f (2 016) ＝ f (0) ， f (2 017) ＝ f (1) ， 又直线 x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的一条对称轴， 所以 f (2 016) ＝ f (0) ＝ f (2). 由当 1 ≤ x 1 ＜ x 2 ≤ 3 时， ( f ( x 2 ) － f ( x 1 ))·( x 2 － x 1 ) ＜ 0 ， 可知当 1 ≤ x 1 ＜ x 2 ≤ 3 时，函数单调递减， 所以 f (1) ＞ f (2) ＞ f (3) ， 故 f (2 017) ＞ f (2 016) ＞ f (2 015). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 根据 [ x ] 表示的意义可知，当 0 ≤ x <1 时， f ( x ) ＝ x ， 当 1 ≤ x <2 时， f ( x ) ＝ x － 1 ， 当 2 ≤ x <3 时， f ( x ) ＝ x － 2 ，以此类推，当 k ≤ x < k ＋ 1 时， f ( x ) ＝ x － k ， k ∈ Z 且 k ＞ 0 . 当 － 1 ≤ x <0 时， f ( x ) ＝ x ＋ 1 ，作出函数 f ( x ) 的图象如图 . 直线 y ＝ k ( x ＋ 1) 过点 ( － 1,0) ， 当 直线经过点 (3,1) 时恰有三个交点 ， 当 直线经过点 (2,1) 时恰好有两个交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ R ，有下列 4 个命题： ① 若 f (1 ＋ 2 x ) ＝ f (1 － 2 x ) ，则 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称； ② y ＝ f ( x － 2) 与 y ＝ f (2 － x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称； ③ 若 f ( x ) 为偶函数，且 f (2 ＋ x ) ＝－ f ( x ) ，则 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称； ④ 若 f ( x ) 为奇函数，且 f ( x ) ＝ f ( － x － 2) ，则 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称 . 其中正确命题的序号为 ________. 解析 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于 ② ，令 t ＝ x － 2 ， 则 问题等价于 y ＝ f ( t ) 与 y ＝ f ( － t ) 图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线 t ＝ 0 对称 ， 即 函数 y ＝ f ( x － 2) 与 y ＝ f (2 － x ) 的图象关于直线 x － 2 ＝ 0 即 x ＝ 2 对称 ， 故 ② 正确 ； 由 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，可得 f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 我们只能得到函数的周期为 4 ， 即 只能推得函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 4 k ( k ∈ Z ) 对称 ， 不能 推得函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称，故 ③ 错误 ； 由于 函数 f ( x ) 为奇函数，且 f ( x ) ＝ f ( － x － 2) ，可得 f ( － x ) ＝ f ( x ＋ 2) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x ，恒有 f ( x ＋ 2) ＝ － f ( x ) ，当 x ∈ [0,2] 时， f ( x ) ＝ 2 x － x 2 . (1) 求证： f ( x ) 是周期函数； 证明　 ∵ f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ， ∴ f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 是周期为 4 的周期函数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 当 x ∈ [2,4] 时，求 f ( x ) 的解析式； 解　 ∵ x ∈ [2,4] ， ∴ － x ∈ [ － 4 ，－ 2 ] ， ∴ 4 － x ∈ [0,2] ， ∴ f (4 － x ) ＝ 2(4 － x ) － (4 － x ) 2 ＝－ x 2 ＋ 6 x － 8 ， 又 f (4 － x ) ＝ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ － f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 6 x － 8 ， 即 f ( x ) ＝ x 2 － 6 x ＋ 8 ， x ∈ [2,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (3) 计算 f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (2 016). 解　 ∵ f (0) ＝ 0 ， f (1) ＝ 1 ， f (2) ＝ 0 ， f (3) ＝－ 1 ， 又 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数， ∴ f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＝ f (4) ＋ f (5) ＋ f (6) ＋ f (7) ＝ … ＝ f (2 012) ＋ f (2 013) ＋ f (2 014) ＋ f (2 015) ＝ 0 ， ∴ f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (2 016) ＝ f (2 016) ＝ f (0) ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 求函数 f ( x ) 的定义域； 当 a ＞ 1 时， x 2 － 2 x ＋ a ＞ 0 恒成立，定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ； 当 a ＝ 1 时，定义域为 { x | x ＞ 0 且 x ≠ 1} ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 当 a ∈ (1,4) 时，求函数 f ( x ) 在 [2 ，＋ ∞ ) 上的最小值； 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 若对任意 x ∈ [2 ，＋ ∞ ) ，恒有 f ( x ) ＞ 0 ，试确定 a 的取值范围 . 解　 对任意 x ∈ [2 ，＋ ∞ ) ， 恒有 f ( x ) ＞ 0 ， 所以 a ＞ 3 x － x 2 对 x ∈ [2 ，＋ ∞ ) 恒成立 . 令 h ( x ) ＝ 3 x － x 2 ， 所以 h ( x ) max ＝ h (2) ＝ 2 ，所以 a ＞ 2.