【数学】江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测(三)试题(理)

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【数学】江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测(三)试题(理)

江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测(三)‎ 数学试题(理)‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则集合可以是 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数的其共轭复数满足,则复数为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. “数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀袖,扇面书画,扇骨 雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号,如图是折扇的示意图,为的 中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知点在表示的平面区域内,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 函数的部分图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知数列为等差数列, 是其前项和, .数列的前项 和为,若对一切都有恒成立,则能取到的最小整数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在棱长为的正方体中,是正方形的中心,为的 中点,过的平面与直线垂直,则平面截正方体所得的截面面 积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过 点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围 ‎( )‎ A. ] B.(] C.] D.(]‎ ‎12.已知函数,方程恰有两个不同的实数根 ‎,则的最小值与最大值的和( )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13. 某产品的宣传费用(万元)与销售额(万元)的统计数据如下表所示:‎ 宣传费用(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额(万元)‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎50‎ 根据上表可得回归方程则宣传费用为3万元时,对应的销售额为 .‎ ‎14.定义在R上的函数满足对任意的都有.设 ‎,若,则 .‎ ‎15. 已知,若,则 的值为______.‎ ‎16.高三年级毕业成人礼活动中,要求A,B,C三个班级各出三人,组成小方阵,则来自 同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率为 .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17. (本小题满分12分)如图,在中,点P在边BC 上, .‎ ‎(1) 求的大小;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎18. (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD, E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:直线平面PAB;‎ ‎(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值.‎ ‎19. (本小题满分12分)已知点F1,F2为椭圆的左、右焦点,‎ F1,F2都在圆E:上,椭圆C和圆E在第一象限相交于点P,且线段 PF1为圆E的直径.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)椭圆C的左、右顶点分别为M,N,过定点Q的直线l: x=ty﹣2(t+1)与椭圆C分别交于点A,B,且点A,B位于第一象限,点A在线段BQ上,直线OQ与NA交于点C.记直线MB,MC的斜率分别为k1,k2.求证:k1k2为定值.‎ ‎20. (本小题满分12分) 2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产,经测产专家组评定,最终亩产为1046.3公斤,第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进的食品生产线,计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工,创建一个新产品,已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准,其质量指标的等级划分如表:‎ 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 为了解该产品的生产效益,该企业先进行试生产,从中随机抽取了1000件产品,测量了每件产品的指标值,得到产品质量指标值的频率分布直方图(如图).‎ ‎(1)若从质量指标值不小于85的产品中利用分层抽样的方法抽取7件产品,并采集相关数据进行分析,然后从这7件产品中任取3件产品,求质量指标值,的件数的分布列及数学期望;‎ ‎(2)若将频率视为概率,从该产品中有放回地随机抽取3件产品,记“抽出的产品中至少有1件为合格或合格以上等级”为事件,求事件发生的概率;‎ ‎(3)若每件产品的质量指标值与利润(单位:元)的关系如表所示 质量指标值 利润(元 请问生产该产品能否盈利?若不能,试说明理由;若能,试确定为何值时,利润达到最大(参考数值:,,.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数,‎ ‎(1)讨论函数的单调性 ‎(2)若有两个零点证明:‎ ‎(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为,以为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标系方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)判断:直线与曲线是否相交?若相交,请求出弦长;若不相交,请说明理由.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23. (本小题满分10分)已知函数 ‎(1) 当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,若的图像与轴围城的三角形面积等于6,求的值.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1-12 C A D A A A C D B B C C ‎13. 14.-1820 15.-1 16.‎ ‎10. 【解析】 由如图,在正方体中,记的中点为,‎ 连接,‎ 则平面即为平面.证明如下:‎ 由正方体的性质可知,,则,四点共面,‎ 记的中点为,连接,易证.连接,则,‎ 所以平面,则.‎ 同理可证,,,则平面,‎ 所以平面即平面,且四边形即平面截正方体所得的截面.‎ 因为正方体的棱长为,易知四边形是菱形,其对角线,,所以其面积.‎ ‎11.【解析】,所以离心率,圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. ‎ ‎12. 【解析】 函数的图像为:‎ 则 所以 令, ‎ 所以,选C.‎ ‎15. 【解析】由积分的几何意义知,‎ 在中,,‎ 令,则,∴.‎ ‎16. 【解析】首先,第一行队伍的排法有种;第二行队伍的排法有2种;第三行队伍的排法有1种;然后,第一行的每个位置的人员安排有种;第二行的每个位置的人员安排有种;第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率.‎ ‎17. 【解析】(1)(6分) (2)(12分)‎ ‎18. 【解析】 (1)取的中点,连结,.‎ 因为是的中点,所以∥,,‎ 由得∥,‎ 又,所以,四边形是平行四边形,∥.‎ 又平面,平面,故平面. (5分)‎ ‎(2)由已知得,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,,,‎ 设,则 ‎,‎ 因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而是底面ABCD的法向量,‎ 所以,,即. ①‎ 又M在棱PC上,设,则 . ②‎ 由①②解得(舍去),.‎ 所以,从而. (9分)‎ 设是平面ABM的法向量,则 即 所以可取.于是 ,‎ 因此二面角的余弦值为.(12分)‎ ‎19. 解:(1)在圆E中,令y=0可得x=,所以由题意可得c=,‎ 由圆的方程可得圆的半径为,所以由题意可得|PF1|=,‎ 连接PF2,因为F2在圆上,所以PF2⊥F1F2,‎ 又有|F1F2|=2c=2,则|PF2|=‎ 由题意的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|,可得a=2,b2=a2﹣c2=1,‎ 所以椭圆的方程为:+y2=1;(4分)‎ ‎(2)Q(﹣2,2),设A(x,y),B(x',y'),‎ 直线l的方程:x=ty﹣2(t+1),‎ 联立椭圆的方程整理得:(4+t2)y2﹣4t(t+1)y+4t(t+2)=0‎ ‎∴,y+y'=,yy'=,(6分)‎ 设点C(﹣c,c),由A,C,N三点共线点:,所以c=,(8分)‎ 则k1k2===,‎ 所以k1k2为定值.(12分)‎ ‎20. 解:(1)由频率分布直方图得指标值不小于85的产品中,‎ ‎,的频率为, ,的频率为,‎ ‎,的频率为, ‎ 利用分层抽样抽取的7件产品中,,的有4件,‎ ‎,的有2件,,的有1件, ‎ 从这7件产品中,任取3件,质量指标值,的件数的所有可能取值为0,1,2,‎ ‎,,,(4分)‎ 的分布列为:‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎.(5分)‎ ‎(2)设事件的合格率为(A),则根据概率分布直方图得:‎ 一件产品为合格或合格以上等级的概率为,‎ 事件发生的概率(A).(7分)‎ ‎(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润(元的关系与表所示,‎ 质量指标值 利润 ‎ 0.3‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.05‎ 每件产品的利润:‎ ‎,,则,‎ 令,解得,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 当,时,,函数,单调递减,(10分)‎ 当时,取最大值,‎ 生产该产品能够实现盈利,当时,‎ 每件产品的利润取得最大值为0.5元.(12分)‎ ‎21. 解:(Ⅰ)由题设可得定义域,‎ 当,恒成立,在上单调递减;‎ 当,,‎ ‎,,故在单调递减;‎ ‎,,故在单调递增.(5分)‎ ‎(Ⅱ)方法一:有两个零点,则有两解,‎ 令,,‎ ‎,‎ 则,,(7分)‎ 由题意可得,‎ 又, 所以 故转化为:只需证明,设(9分)‎ 由(2)式可得,;‎ ‎,,‎ ‎,恒成立,,‎ 故在上单调递增,,‎ 即,整理可得.(12分)‎ 方法二:由(1)知,有两个零点,则且,得,‎ 则,,又, (7分)‎ 且,又,‎ 即,又在上单调递减,(9分)‎ ‎,又,‎ ‎,所以原命题成立.(12分)‎ ‎22.解:(1)将改为,‎ 化为极坐标方程为;(4分)‎ ‎(2)将代入得,,(6分)‎ 以为,‎ 所以方程有2个不同的根,,‎ 所以直线与曲线相交,公共弦的长为.(10分)‎ ‎23. 解:(1)当时, (2分)‎ 令,解得,即解集为:(5分)‎ ‎(2)当,可得,(7分)‎ 的图像与轴围城的三角形面积等于6, ‎ ‎(10分)‎
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