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文档介绍
【数学】2019届一轮复习全国通用版第67讲坐标系学案
第十一章 坐标系与参数方程 第67讲 坐标系 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解坐标系的作用. 2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2017·全国卷Ⅱ,22 2016·全国卷Ⅰ,23 2016·北京卷,11 极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程. 分值:5~10分 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标系的概念 ①极坐标系: 如图所示,在平面内取一个__定点__O,点O叫做极点,自极点O引一条__射线__Ox,Ox叫做极轴;再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. ②极坐标: 一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. ③点与极坐标的关系: 一般地,极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) 表示同一个点,特别地,极点O的坐标为 (0,θ)(θ∈R) ,与直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有__无数__种表示. 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ,θ)__表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的. (2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 __ρ=r(0≤θ<2π) __ 圆心为(r,0),半径为r的圆 __ρ=2rcos θ__ ____ 圆心为,半径为r的圆 __ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)__ 过极点,倾斜角为α的直线 __θ=α(ρ∈R) __或 __θ=α+π(ρ∈R) __ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 __ρcos θ=a__ ____ 过点,与极轴平行的直线 __ρsin_θ=a(0<θ<π)__ 1.思维辨析(在括号内打“√”或打“×”). (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( × ) (2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆.( √ ) (3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α. ( √ ) (4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.( × ) 2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为__y′=3sin_2x′__. 解析 由知 代入y=sin x中得y′=3sin 2x′. 3.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为____. 解析 因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为. 4.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标为__,__. 解析 由∴sin θ=,∴θ=或. 5.在极坐标系中,曲线C1:ρ(cos θ+sin θ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=____. 解析 曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=a2,曲线C1与x轴的交点坐标为,此点也在曲线C2上,代入解得a=. 一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示,在伸缩变换作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆. 【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ变换所得的点A′的坐标. (2)求直线l:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l′的方程. 解析 (1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:得到 由于点A的坐标为,于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,∴A′(1,-1)为所求. (2)设直线l′上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入y=6x得2y′=6×, ∴y′=x′,即y=x为所求. 二 极坐标与直角坐标的互化 极坐标方程与普通方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程. (2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程. (3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程. 【例2】 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0). (1)求曲线C1的直角坐标方程; (2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求的最小值. 解析 (1)曲线C1的方程可化为3(x2+y2)=12x-10, 即(x-2)2+y2=. (2)依题意可设Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆C1的圆心为C1(2,0),半径r1=. 故|QC1|===2, |QC1|min=,所以|PQ|min=|QC1|min-r1=. 三 极坐标方程的求法与应用 已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决. 【例3】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0 =2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8cos θsin θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos 2θ-8cos θsin θ=0,从而1-a2=0,又a>0,所以a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1. 1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标. 解析 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),将代入x2-=1得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0). 2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解析 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4; 因为ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2. 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆直角坐标方程相减,得过两圆交点的直线方程为x+y=1. 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=. 3.在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长. 解析 由ρsin=2, 得(ρcos θ+ρsin θ)=2可化为x+y-2=0. 圆ρ=4可化为x2+y2=16, 由圆中的弦长公式得2=2=4. 故所求弦长为4. 4.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α· =2≤2+. 当α=-时,S取得最大值2+. 所以△OAB面积的最大值为2+. 易错点 忽略变量的取值范围 错因分析:忽略变量的取值范围,导致错误. 【例1】 求极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程. 解析 由ρ=(sin θ≠0),得ρ=(cos θ≠±1), ∴ρ-ρcos θ=2(cos θ≠±1),(*) ∴=x+2,化简得y2=4x+4, 当cos θ=1时,(*)式不成立; 当cos θ=-1时,由(*)式知ρ=1,∴x=ρcos θ=-1. 综上可知,y2=4x+4(x≠-1)即为所求. 【跟踪训练1】 已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,l与C交于不同的两点P1,P2. (1)求φ的取值范围; (2)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程. 解析 (1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1, 将代入x2+y2=1得t2-4tsin φ+3=0,(*) 由Δ=16sin 2φ-12>0得|sin φ|>,∵0≤φ<π,∴<φ<. (2)由(*)知,=2sin φ,代入中, 整理得P1P2的中点的轨迹方程为. 课时达标 第67讲 [解密考纲]高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,两种不同方式的方程的互化是考查的热点,常以解答题的形式出现. 1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程. 解析 由得到 代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1. 因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1. 2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上. (1)求a的值及直线l的直角坐标方程; (2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系. 解析 (1)由点A在直线l上,得cos=a,则a=,故直线l的方程可化为ρsin θ+ρcos θ=2,得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0. (2)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,圆心C到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交. 3.(2018·海南模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点. (1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦AB的长度. 解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为y=x,曲线C1:ρ=6cos θ , 即ρ2=6ρcos θ,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9. (2)∵圆心(3,0)到直线的距离d=,圆C1的半径r=3, ∴|AB|=2=3. ∴弦AB的长度为3. 4.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=. (1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程; (2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l的距离的最小值. 解析 (1)根据 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为x+y=4. (2)设Q(cos θ,sin θ),则点Q到直线l的距离为 d==≥=, 当且仅当θ+=2kπ+,即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号. ∴点Q到直线l的距离的最小值为. 5.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,=,求l的斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ, 可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|==. 由|AB|=,得cos2α=,tan α=±. 所以l的斜率为或-. 6.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径. 解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m 得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). (2)C的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=. 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.查看更多