2019届二轮（理科数学）　函数的极值与最值课件（25张）（全国通用）

2019届二轮（理科数学）　函数的极值与最值课件（25张）（全国通用）

第3节　函数的极值与最值 内容简介 本节主要包含以下三个方面的知识点 : (1) 利用导数研究函数的极值 ; (2) 利用导数研究函数的最值 ; (3) 函数极值和最值的综合问题 . 考试说明要求 : (1) 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件 ; (2) 会用导数求函数的极大值、极小值 ; (3) 会求闭区间上函数的最大值、最小值 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 1. 函数的极值 (1) 一般地 , 求函数 y=f(x) 的极值的方法 解方程 f′(x)=0, 当 f′(x 0 )=0 时 : ① 如果在 x 0 附近的左侧 , 右侧 , 那么 f(x 0 ) 是极大值 ; ② 如果在 x 0 附近的左侧 , 右侧 , 那么 f(x 0 ) 是极小值 . (2) 求可导函数极值的步骤 : ① 求 f′(x); ② 求方程 的根 ; ③ 考查 f′(x) 在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号 . 如果左正右负 , 那么 f(x) 在这个根处取得 ; 如果左负右正 , 那么 f(x) 在这个根处取得 . f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)=0 f′(x)=0 极大值 极小值 2. 函数的最值 (1) 在闭区间 [a,b] 上连续的函数 f(x) 在 [a,b] 上必有最大值与最小值 . (2) 若函数 f(x) 在 [a,b] 上单调递增 , 则 为函数的最小值 , 为函数的最大值 ; 若函数 f(x) 在 [a,b] 上单调递减 , 则 为函数的最大值 , 为函数的最小值 . (3) 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续 , 在 (a,b) 内可导 , 求 f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值的步骤如下 : ① 求函数 y=f(x) 在 (a,b) 内的 ; ② 将函数 y=f(x) 的各 与 处的函数值 f(a),f(b) 比较 , 其中最大的一个为最大值 , 最小的一个为最小值 . f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 极值 端点 课前检测 1. 如图是 f(x) 的导函数 f′(x) 的图象 , 则 f(x) 的极小值点的个数为 ( 　 　 ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析 : 由题意知在 x=-1 处 f′(-1)=0, 且其左右两侧导数符号为左负右正 . A 2. 设函数 f(x) 的定义域为 R ,x 0 (x 0 ≠0) 是 f(x) 的极大值点 , 以下结论一定正确的是 ( 　 　 ) (A)∀x∈ R ,f(x)≤f(x 0 ) (B)-x 0 是 f(-x) 的极小值点 (C)-x 0 是 -f(x) 的极小值点 (D)-x 0 是 -f(-x) 的极小值点 解析 : 由函数的极大值的概念知 A 错误 ; 因为函数 f (x) 的图象与 f (-x) 的图象关于 y 轴对称 , 所以 -x 0 是 f (-x) 的极大值点 , 故 B 选项错误 ; 因为 f (x) 的图象与 -f (x) 的图象关于 x 轴对称 , 所以 x 0 是 -f (x) 的极小值点 , 故 C 选项错误 ; 因为 f (x) 的图象与 -f (-x) 的图象关于原点成中心对称 , 所以 -x 0 是 -f (-x) 的极小值点 , 故 D 选项正确 . D 4. 若函数 f(x)=x 3 -3x 在 (a,6-a 2 ) 上有最小值 , 实数 a 的取值范围是 　　　　 .   解析 : f′(x)=3x 2 -3, 令 f′(x)>0 ⇒ x>1 或 x<-1, 所以 f(x) 在 (-∞,-1), (1,+∞) 单调递增 , 在 (-1,1) 单调递减 , 即 x=1 为函数的极小值点 . 因为函数 f(x) 在 (a,6-a 2 ) 上有最小值 , 则函数 f(x) 的极小值点必在区间 (a,6-a 2 ) 内 , 且左端点的函数值不小于 f(1), 则 ⇒ 则 a∈[-2,1). 答案 : [-2,1) 例题精讲 考点一 利用导数研究函数的极值 【 例 1】 (1) 若函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+a 2 在 x=1 时有极值 10, 则 a+b= 　　　　 ;   答案 : -7 (2) 解 : f′(x)=e -x -xe -x =(1-x)e -x . 令 f′(x)>0, 解得 x<1, 当 x 变化时 ,f′(x),f(x) 的变化情况如表 , x (-∞,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 则 f(x) 的极大值为 f(1)= , 无极小值 . (2) 求函数 f(x)=xe -x 的极值 . 规律方法 求函数 f(x) 极值的方法 (1) 确定函数 f(x) 的定义域 ; (2) 求导函数 f′(x); (3) 求方程 f′(x)=0 的根 ; (4) 检查 f′(x) 在方程的根的左右两侧的符号 , 确定极值点 . 如果左正右负 , 那么 f(x) 在这个根处取得极大值 , 如果左负右正 , 那么 f(x) 在这个根处取得极小值 , 如果 f′(x) 在这个根的左右两侧符号不变 , 则 f(x) 在这个根处没有极值 . 解 : f′(x)= = , 令 f′(x)>0 解得 x∈(-2,0)∪(2,+∞). 当 x 变化时 ,f′(x),f(x) 的变化情况如表 , x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则 f(x) 的极小值为 f(-2)=f(2)=0, 极大值为 f(0)= =2 . 考点二 利用导数研究函数的最值 【 例 2】 (1) 求函数 f(x)=xe -x 的最值 ; 解 : (1)f′(x)=(1-x)e -x , 令 f′(x)>0, 解得 x<1, 当 x 变化时 ,f′(x),f(x) 的变化情况如表 , x (-∞,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 则 f(x) max =f(1)= , 无最小值 . (2) 已知函数 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b, 是否存在实数 a,b, 使得 f(x) 在 [1,2] 上取得最大值 4, 最小值 -29? 若存在 , 求出 a,b 的值 , 若不存在 , 请说明理由 . 规律方法 求y=f(x)在[a,b]上的最值的方法 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 变式 : 已知函数 f(x)=(ax-2)e x 在 x=1 处取得极值 . (1) 求 a 的值 ; 解 : ( 1)f′(x)=(ax+a-2)e x , 由已知得 f′(1)=(a+a-2)e=0, 解得 a=1, 经检验 a=1 符合题意 , 所以 a 的值为 1. (2) 求函数在区间 [m,m+1] 上的最小值 . 考点三 函数极值和最值的综合问题 【 例 3】 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x 2 -x 3 , 其中 a>0. (1) 讨论 f(x) 在其定义域上的单调性 ; (2) 当 x∈[0,1] 时 , 求 f(x) 取得最大值和最小值时的 x 的值 . 当 x∈[0,ln 3] 时 , 函数 g(x) 的最大值 M 与最小值 N 的差为 , 则 a= 　　　　 .  变式 : 已知函数 f(x)=-xln x+ax 在 (0,e) 上是增函数 , 函数 g(x)=|e x -a|+ . 答案 : 点击进入 课时训练