【数学】2019届一轮复习人教A版 排列与组合 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 排列与组合 学案

排列与组合 ‎【考点梳理】‎ ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2．排列数与组合数 ‎(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.‎ ‎(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝ ‎＝(n，m∈N ，且m≤n).特别地C＝1‎ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！. ‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C ‎【考点突破】‎ 考点一、排列问题 ‎【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.‎ ‎(1)选5人排成一排；‎ ‎(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；‎ ‎(4)全体排成一排，女生必须站在一起；‎ ‎(5)全体排成一排，男生互不相邻.‎ ‎[解析] (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).‎ ‎(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种).‎ ‎(3)法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).‎ 法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).‎ ‎(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).‎ ‎(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.‎ ‎2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)‎ A．12 B．24 C．64 D．81‎ ‎[答案] B ‎[解析] 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A＝24.‎ ‎2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72.‎ ‎3．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有(　　)‎ A．180种 B．220种 C．240种 D．260种 ‎[答案] C ‎[解析] 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种.‎ ‎4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).‎ ‎[答案] 24‎ ‎[解析] 将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA＝24种不同的展出方案.‎ 考点二、组合问题 ‎【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎[解析] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种.‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种.‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种.‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090种.‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ ‎【类题通法】‎ 组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎1. “含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.‎ ‎2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)‎ A．90 B．115 C．210 D．385‎ ‎[答案] B ‎[解析] 分三类，取2个黑球有CC＝90种，取3个黑球有CC＝24种，取4个黑球有C＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.‎ ‎2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)‎ A．18 B．24 C．30 D．36‎ ‎[答案] C ‎[解析] 从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.‎ 考点三、排列、组合的综合应用 ‎【例3】(1)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)‎ A．80种 B．90种 C．120种 D．150种 ‎(3)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.‎ ‎[答案] (1) D (2) D (3) 90‎ ‎[解析] (1)由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA＝36(种).‎ ‎(2)有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有CA＝90种，∴共有150种，故选D.‎ ‎(3)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.‎ ‎2．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①‎ 不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四 知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种(用数字作答).‎ ‎[答案] 240‎ ‎[解析] 特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3 ，有A种方案.故共有CA＝4×60＝240(种)方案.‎ ‎2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎[答案] A ‎[解析] 将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).‎ ‎3．某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为(　　)‎ A．1 800 B．900 C．300 D．1 440‎ ‎[答案] B ‎[解析] 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有·AA＝900(种)，故选B.‎