福建省长乐高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

福建省长乐高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

长乐高级中学2018-2019第二学期期末考 高二数学(理科)试卷 一、选择题。‎ ‎1.是虚数单位,复数的共轭复数 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘法运算化简z，再由共轭复数的概念得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关复数的共轭复数问题，涉及到的知识点有复数的除法运算法则，复数的乘法运算法则，以及共轭复数，正确解题的关键是灵活掌握复数的运算法则.‎ ‎2.在一次独立性检验中，其把握性超过99％但不超过99.5％，则的可能值为（ ）‎ 参考数据：独立性检验临界值表 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A. 5.424 B. 6.765 C. 7.897 D. 11.897‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验表解题 ‎【详解】 ‎ 把握性超过99％但不超过99.5％，，选B ‎【点睛】本题考查独立性检验表，属于简单题。‎ ‎3.某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法。‎ ‎【详解】每个乘客都有4种选法，共有种，选D ‎【点睛】每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法 ‎4.设，若，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，带入，求出即可。‎ ‎【详解】对求导得 将带入有。‎ ‎【点睛】本题考查函数求导，属于简单题。‎ ‎5.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为 ‎，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率 ‎【详解】在下雨条件下吹东风的概率为 ，选C ‎【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题。‎ ‎6.函数的单调增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定定义域，再求导判断正负号即可得出答案。‎ ‎【详解】定义域为 ‎ 恒成立 所以在上单增，在上单增 所以函数的单调增区间是 ‎【点睛】本题考查函数单调区间的求法，需要注意的是两个区间不能用并集符号连接。‎ ‎7.若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，根据导函数性质解题。‎ ‎【详解】，斜率为正，排除BD选项。‎ 的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0‎ 即b<0,选A ‎【点睛】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。‎ ‎8.椭圆的点到直线的距离的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写设椭圆1上的点为M（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式，结合三角函数性质能求出椭圆1上的点到直线x+2y﹣4＝0的距离取最小值．‎ ‎【详解】解：设椭圆1上的点为M（3cosθ，2sinθ），‎ 则点M到直线x+2y﹣4＝0的距离：‎ d|5sin（θ+α）﹣4|，‎ ‎∴当sin（θ+α）时，‎ 椭圆1上的点到直线x+2y﹣4＝0的距离取最小值dmin＝0．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值，属于中档题。‎ ‎9.在的二项展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 二次项展开式中某项的系数，根据二项式定理求解 ‎【详解】的二项展开式中的系数为 ‎【点睛】本题考查二次项展开式中某项的系数，属于简单题。‎ ‎10.设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起。再全排列。‎ ‎【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得 选D ‎【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起。再全排列。本题为选择题还可取特值：令n=1,只有一种放法，排除AB，令n=2有6中放法，选D ‎11.如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）‎ A. 10 B. 13 C. 15 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案 ‎【详解】因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条，向东走的路有3条 走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有种结果，选C ‎【点睛】本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题。‎ ‎12.在一次抗洪抢险中，准备用射击方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是 。则打光子弹的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。‎ ‎【详解】5次中0次：‎ ‎5次中一次： ‎ ‎5次中两次： 前4次中一次，最后一次必中 ‎ 则打光子弹的概率是++=,选B ‎【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆。‎ 二、填空题.‎ ‎13.已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.‎ ‎【答案】0.1‎ ‎【解析】‎ 随机变量服从正态分布，且，故答案为.‎ ‎14.定积分__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义求出，再由微积分基本定理求出，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为表示圆面积的，所以；‎ 又，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎15.下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为______（用含的多项式表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…‎ 找到规律及可求出。‎ ‎【详解】按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…‎ 由于 ， ， ， ，‎ 则第行（）从左向右的第3个数为 。‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题。‎ ‎16.，若，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 均值不等式推广；‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】熟练掌握 。‎ 三、解答题。‎ ‎17.7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）‎ ‎（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾。‎ ‎（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起。‎ ‎（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻。‎ ‎（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）。‎ ‎（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习。‎ ‎【答案】(1)3600种；(2)720种；(3)1440种；(4)840种；(5)630种 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先特殊后一般。‎ ‎【详解】(1)； ‎ ‎(2)‎ ‎(3) ；‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎【点睛】本题考查排列组合，思想先特殊后一般。属于简单题。‎ ‎18.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 参考公式：，，残差 ‎（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）；8.05个小时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按表中信息描点。‎ 利用所给公式分别计算出和 残差，计算出即为预测值。‎ ‎【详解】（1）作出散点图如下：‎ ‎ ‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求线性回归方程为： ‎ ‎（3）‎ 当代入回归直线方程，得（小时）‎ 加工10个零件大约需要805个小时 ‎【点睛】本题考查线性回归直线，考查学生的运算能力，属于基础题。‎ ‎19.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的普通方程消参，圆的直角坐标方程利用公式 化简。‎ ‎（2）联立方程利用韦达定理解出，，再带入即可。‎ 详解】(1)‎ ‎ ‎ ‎(2)将代入 得 ‎，‎ 点都在点下方。‎ ‎【点睛】极坐标与直角坐标方程互化公式 涉及弦长一般利用参数t的几何意义解题，属于基础题 ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数写出分段函数形式，再分段解不等式。‎ 不等式的解集非空即。‎ ‎【详解】(1)‎ 或或 无解或或 或 ‎ ‎ 原不等式的解集为 ‎(2)若要的解集非空 只要即可 故 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查含绝对值的不等式，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题。‎ ‎21.为调查某小区居民的“幸福度”。现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”。‎ ‎（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；‎ ‎（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差。‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列见解析；数学期望为；方差为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率。‎ 由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为，再计算即可。‎ ‎【详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；‎ 记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件.‎ 由题意得 ‎ ‎(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，的可能取值为0,1,2,3,‎ 显然 则；；‎ ‎；；‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题。‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）求过点的切线方程；‎ ‎（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。‎ ‎（3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导带入求出切线斜率，再利用点斜式写出切线。‎ 求出的单调区间，极值，则在极小值与极大值之间。‎ 参变分离，求最值。‎ ‎【详解】(1)设切点为 切线过 ‎ ‎ ‎(2)对函数求导，得函数 令，即，解得，或 ‎，即，解得，‎ 的单调递增区间是及，单调递减区间是 当,有极大值；‎ 当，有极小值 当时，‎ 直线与的图象有3个不同交点，‎ 此时方程有3个不同实根。‎ 实数的取值范围为 ‎ ‎(3)时，恒成立，‎ 也就是恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 的最小值为，‎ ‎【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，两方程的交点问题以及参变分离。属于中档题。‎ ‎ ‎